Cet article revisite et étend au cadre non autonome les résultats sur la dynamique d'un modèle matriciel discret et non linéaire décrivant la croissance d'une population microbienne unique structurée en taille dans un chémostat autonome, qui a été introduit par T.B. Gage et al. et H.L. Smith. Le premier et le deuxième résultat fournissent un seuil déterminant soit l'extinction, soit la persistance de la biomasse totale. Le résultat principal établit un ensemble de conditions suffisantes assurant l'existence, l'unicité et l'attractivité globale d'une solution ω-périodique.