Convexity, plurisubharmonicity and the strong maximum modulus principle in Banach spaces
Convexité, pluri-sous-harmonicité et principe du maximum dans les espaces de Banach
Résumé
In this article, we first try to make the known analogy between convexity and plurisubharmonicity more precise. Then we introduce a notion of strict plurisubharmonicity analogous to strict convexity, and we show how this notion can be used to study the strong maximum modulus principle in Banach spaces. As an application, we define a notion of L^p direct integral of a family of Banach spaces, which includes at once Bochner L^p spaces, ℓ^p direct sums and Hilbert direct integrals, and we show that under suitable hypotheses, when p < ∞, an L^p direct integral satisfies the strong maximum modulus principle if and only if almost all members of the family do. This statement can be considered as a rewording of several known results, but the notion of strict plurisubharmonicity yields a new proof of it, which has the advantage of being short, enlightening and unified.
Dans cet article, je m’efforce tout d’abord de rendre plus précise l’analogie connue entre convexité et pluri-sous-harmonicité. J’introduis ensuite une notion de pluri-sous-harmonicité stricte analogue à la convexité stricte, et je montre l’intérêt de cette notion pour l’étude du principe du maximum dans les espaces de Banach. En guise d’application, je définis une notion d’intégrale directe L^p d’une famille d’espaces de Banach qui comprend à la fois les espaces L^p de Bochner, les sommes directes ℓ^p et les intégrales directes hilbertiennes, et je montre que sous certaines hypothèses, lorsque p < ∞, une intégrale directe L^p vérifie le principe du maximum si et seulement si presque tous les membres de la famille vérifient le principe du maximum. Cet énoncé peut être vu comme une reformulation de plusieurs résultats connus, mais la notion de pluri-sous-harmonicité stricte permet d’en donner une nouvelle démonstration, qui a l’avantage d’être courte, éclairante et unifiée.
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