Les $E$-fonctions et $G$-fonctions de Siegel - Archive ouverte HAL Access content directly
Preprints, Working Papers, ... Year : 2022

Les $E$-fonctions et $G$-fonctions de Siegel

Tanguy Rivoal

Abstract

Siegel a introduit en 1929 les $E$- et $G$-fonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques et solutions d’équations différentielles à coefficients polynomiaux. Son but était de généraliser les théorèmes classiques d’Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la nature arithmétique des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement. Les $E$-fonctions contiennent les fonctions de Bessel par exemple, tandis que les $G$-fonctions contiennent les polylogarithmes multiples (donc les valeurs zêta multiples par spécialisation) et sont fortement liées aux périodes de variétés algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Dans ce survol présenté à l'occasion des Journées XUPS 2019, on explique comment l’on obtient ces résultats classiques au moyen de la théorie des approximants de Padé ``explicites'' ; puis comment avec des méthodes ``inexplicites'', Siegel et Shidlovsky ont obtenu leur célèbre résultat (1956) sur la nature arithmétique des valeurs de $E$-fonctions ; enfin, comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des $G$-fonctions. Dans une seconde partie, on expose les travaux d’André, Chudnovsky et Katz, qui ont permis d’élucider complètement la nature des équations différentielles satisfaites par les G-fonctions puis, par ricochet, celle des équations différentielles satisfaites par les$ E$-fonctions. On conclut par de nouvelles applications arithmétiques déduites récemment de ces propriétés différentielles et qui complètent le théorème de Siegel-Shidlovsky.
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Dates and versions

hal-03807479 , version 1 (09-10-2022)

Identifiers

  • HAL Id : hal-03807479 , version 1

Cite

Tanguy Rivoal. Les $E$-fonctions et $G$-fonctions de Siegel. 2022. ⟨hal-03807479⟩
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