Weak K.A.M. solutions and minimizing orbits of twist maps - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Transactions of the American Mathematical Society Année : 2023

Weak K.A.M. solutions and minimizing orbits of twist maps

Résumé

For exact symplectic twist maps of the annulus, we etablish a choice of weak K.A.M. solutions $u_c=u(\cdot, c)$ that depend in a Lipschitz-continuous way on the cohomology class $c$. This allows us to make a bridge between weak K.A.M. theory of Fathi, Aubry-Mather theory for semi-orbits as developped by Bangert and existence of backward invariant pseudo-foliations as seen by Katznelson \& Ornstein. We deduce a very precise description of the pseudographs of the weak K.A.M. solutions and many interesting results as --the Aubry-Mather sets are contained in pseudographs that are vertically ordered by their rotation numbers; --on every image of a vertical of the annulus, there is at most two points whose negative orbit is minimizing with a given rotation number; --all the corresponding pseudographs are filled by minimizing semi-orbits and we provide a description of a smaller selection of full pseudographs whose union contains all the minimizing semi-orbits; --there exists an exact symplectic twist map that has a minimizing negative semi-orbit that is not contained in the pseudograph of a weak K.A.M. solution.
Pour chaque twist exact symplectic de l'anneau 2-dimensionnel, on construit une sélection c-->u_c de solution KAM faible qui dépend de façon Lipschitz de la classe de cohomologie c. Ceci nous permet de faire le lien entre la théorie KAM-faible de Fathi, la théorie d'Aubry-Mather pour les demi-orbites qui a été développée par Bangert et l'existence de pseudo-feuilletages négativement invariants mis en évidence par Katznelson et Ornstein. On en déduit une description extrêmement précise de tous les pseudographes des solutions KAM faibles et de nombreux résultats comme: --les ensembles d'Aubry-Mather sont contenus dans des pseudographes qui sont ordonnés verticalement suivant leurs nombres de rotation,; -sur toute image d'une verticale de l'anneau, il y a au plus deux points dont l'orbite négative est minimisante de nombre de rotation donné; - tous les pseudographes des solutions KAM faibles sont remplis de demi-orbites minimisantes et on sélectionne certains pseudographes remplis dont l'union contient toutes les demi-orbites minimisantes; -il existe un twist exact symplectique qui a une demi-orbite négative minimisantes qui n'est pas contenue dans le pseudographe d'une solution KAM faible.

Dates et versions

hal-03789987 , version 1 (27-09-2022)

Identifiants

Citer

Marie-Claude Arnaud, Maxime Zavidovique. Weak K.A.M. solutions and minimizing orbits of twist maps. Transactions of the American Mathematical Society, 2023, ⟨10.1090/tran/9017⟩. ⟨hal-03789987⟩
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