Sofic approximations en quantitative measure couplings
Approximations sofiques et plongements mesurés quantitatifs
Abstract
Measure equivalence was introduced by Gromov as a measured analogue of quasi-isometry. Unlike the latter, measure equivalence does not preserve the large scale geometry of groups and happens to be very flexible in the amenable world. Indeed the Ornstein-Weiss theorem shows that all infinite countable amenable groups are measure equivalent to the group of integers.
To refine this equivalence relation and make it responsive to geometry, Delabie, Koivisto, Le Maître and Tessera introduced a quantitative version of measure equivalence. They also defined a relaxed version of this notion called “quantitative measure subgroup coupling”. In this article we offer to answer the inverse problem of the quantification (find a group admitting a measure subgroup coupling with a prescribed group with prescribed quantification) in the case of the lamplighter group.
L’équivalence mesurée a été introduite par Gromov comme un analogue mesuré de la quasi-isométrie. Contrairement à cette dernière, l’équivalence mesurée ne préserve pas la géométrie à grande échelle et s’avère très flexible dans le monde des groupes moyennables. En effet, le théorème d’Ornstein et Weiss stipule que tout groupe infini moyennable est mesurablement équivalent au groupe des entiers. Afin d’affiner cette relation au sein des groupes moyennables infinis, Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera ont introduit une version quantitative de l’équivalence mesurée. Ils ont aussi défini une version plus faible de cette notion appelée « plongement mesuré quantitatif ». Dans cet article nous proposons de répondre au problème inverse de la quantification (trouver un groupe qui admet un plongement mesuré avec un groupe prescrit avec quantification prescrite) dans le cas des groupes d’allumeur de réverbères.
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