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Sofic approximations en optimal quantitative orbit equivalence

Approximations sofiques et équivalence orbitale quantitative optimale

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Abstract

We say that two groups are orbit equivalent if they both admit an action on a same probability space that share the same orbits. In particular the Ornstein-Weiss theorem implies that all infinite amenable groups are orbit equivalent to the group of integers. To refine this notion Delabie, Koivisto, Le Maître and Tessera introduced a quantitative version of orbit equivalence and of its measure theoretic counterpart called measure equivalence. They furthermore obtained an upper bound to the possible quantification between two given groups. In this article we offer to answer the inverse problem (find a group being orbit or measure equivalent to a prescribed group with prescribed quantification) in the case of the group of integers, the lamplighter group and Brieussel-Zheng's diagonal products. These results moreover show that the upper bound given by Delabie et al. is optimal: the orbit and measure equivalences we obtain all realize the aforementioned upper bound.
On dit que deux groupes sont orbitalement équivalents si tous deux admettent une action sur un même espace de probabilité qui partagent les mêmes orbites (à ensemble de mesure nulle près). Notamment, le théorème d’Ornstein et Weiss stipule que tout groupe infini moyennable est orbitalement équivalent au groupe des entiers. Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera ont introduit une version quantitative de l’équivalence orbitale et de son pendant mesuré afin d’affiner cette relation au sein des groupes moyennables infinis. Ils obtiennent en outre une majoration à la quantification possible entre deux groupes donnés. Dans cet article nous proposons de répondre au problème inverse de la quantification (trouver un groupe qui est orbitalement ou mesure équivalent à un groupe prescrit avec quantification prescrite) dans le cas du groupe des entiers, du groupe d’allumeur de réverbère et d’un produit diagonal de Brieussel-Zheng. Ces résultats montrent de plus que la borne donnée par Delabie et al. est optimale : nos équivalences orbitale et mesurée réalisent la borne en question.
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Dates and versions

hal-03676029 , version 1 (23-05-2022)

Identifiers

  • HAL Id : hal-03676029 , version 1

Cite

Amandine Escalier. Sofic approximations en optimal quantitative orbit equivalence. 2022. ⟨hal-03676029⟩

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