On the limit spectrum of a degenerate operator in the framework of periodic homogenization or singular perturbation problems - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Comptes Rendus. Mathématique Année : 2022

On the limit spectrum of a degenerate operator in the framework of periodic homogenization or singular perturbation problems

Ali Sili
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 828521

Résumé

In this paper we perform the analysis of the spectrum of a degenerate operator corresponding to the stationary heat equation in a -periodic composite medium having two components with high contrast diffusivity. We prove that although is a self-adjoint operator with compact resolvent, its limit when the size of the medium tends to zero is a non self-adjoint operator whose spectrum is bounded by positive constants depending on the first eigenvalue of the one-dimensional Laplacian in and the first eigenvalue of the bi-dimensional Laplacian with mixed boundary conditions on the representative cell . Furthermore, we show that the homogenized problem and the one-dimensional limit problem obtained by the reduction of dimension occurring locally are identical except for one boundary condition which is a homogeneous Neumann condition on the boundary of in the problem and a periodicity condition in the case of homogenization.
Dans ce travail, nous analysons le spectre d’un opérateur dégénéré correspondant à l’équation de la chaleur stationnaire dans un milieu composite -périodique ayant deux composantes avec des coefficients de conductivité à fort contraste. Nous montrons que bien que soit un opérateur auto-adjoint à résolvante compacte, sa limite lorsque la période tend vers est un opérateur non auto-adjoint dont le spectre est borné par des constantes positives ne dépendant que de la première valeur propre du Laplacien uni-dimensionnel dans et de la première valeur propre du Laplacien bi-dimensionnel avec conditions au bord mixtes sur la cellule de référence . Nous montrons en outre que le problème homogénéisé et le problème limite obtenu après réduction de dimension intervenant localement sont identiques, à une condition aux limites près, la condition de Neumann homogène sur le bord de dans le problème devant être remplacée dans le problème homogénéisé par une condition de périodicité.
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Dates et versions

hal-03662156 , version 1 (09-05-2022)

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Citer

Ali Sili. On the limit spectrum of a degenerate operator in the framework of periodic homogenization or singular perturbation problems. Comptes Rendus. Mathématique, 2022, 360 (G1), pp.1-23. ⟨10.5802/crmath.263⟩. ⟨hal-03662156⟩
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