Local-to-Global-rigidity of lattices in SLn(K)
Rigidité Locale-Globale des réseaux de SLn(K)
Abstract
A vertex-transitive graph G is called Local-to-Global rigid if there exists R such that every other graph whose balls of radius are isometric to the balls of radius R in G is covered by G. An example of such a graph is given by the Bruhat–Tits building of PSLn(K) with n>3 and K a non-Archimedean local field of characteristic zero. In this paper we extend this rigidity property to a class of graphs quasi-isometric to the building including torsion-free lattices of SLn(K). The proof is the opportunity to prove a result on the local structure of the building. We show that if we fix a PSLn(K)-orbit in it, then a vertex is uniquely determined by the neighbouring vertices in this orbit.
Un graphe transitif G est dit Local-Global rigide s’il existe R > 0 tel que tout autre graphes dont les boules de rayon R sont isométriques aux boules de rayon R de G est revêtu par G. Un exemple de tel graphe est donné par l’immeuble de Bruhat-Tits de PSLn (K) lorsque n > 3 et K est un corps local non-Archimédien de caractéristique nulle. Dans cet article nous étendons cette propriété de rigidité à une classe de graphes quasi-isométriques à l’immeuble, incluant les réseaux sans torsion de SLn(K). La démonstration est l’occasion de prouver un résultat sur la structure locale des immeubles. Nous montrons que si l’on fixe une PSLn (K)-orbite dans l’immeuble, alors un sommet est uniquement déterminé par les sommets voisins contenus dans cette orbite.
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