Chapitre D'ouvrage Année : 2023

Constructive theory of ordinals

Une théorie constructive des ordinaux

Résumé

In Chapter 3 of his Notes on constructive mathematics, Martin-Löf describes recursively constructed ordinals. He gives a constructively acceptable version of Kleene's computable ordinals. In fact, the Turing definition of computable functions is not needed from a constructive point of view. We give in this paper a constructive theory of ordinals that is similar to Martin-Löf's theory, but based only on the two relations "x \leq y" and "x < y", i.e. without considering sequents whose intuitive meaning is a classical disjunction. In our setting, the operation "supremum of ordinals" plays an important rôle through its interactions with the relations "x \leq y" and "x < y". This allows us to approach as much as we may the notion of linear order when the property "\alpha \leq \beta or \beta \leq \alpha" is provable only within classical logic. Our aim is to give a formal definition corresponding to intuition, and to prove that our constructive ordinals satisfy constructively all desirable properties. Note that by adding classical logic, we would recover the ordinals of usual classical mathematics, at the cost of a loss of computability for most statements given in the usual form.

Dans le chapitre 3 de ses Notes on constructive mathematics, Martin-Löf décrit des ordinaux construits de manière récursive. Il donne une version constructivement acceptable des ordinaux calculables de Kleene. En fait, la définition de Turing des fonctions calculables n’est pas nécessaire d’un point de vue constructif. Nous donnons dans cet article une théorie constructive des ordinaux similaire à la théorie de Martin-Löf, mais basée uniquement sur les deux relations "x \leq y" et "x < y", c’est-à-dire sans considérer les séquents dont le sens intuitif est une disjonction classique. Dans notre cadre, l’opération "supremum d’une famille d’ordinaux" joue un rôle important à travers ses interactions avec les relations "x \leq y" et "x < y". Cela permet d’approcher autant que possible la notion d’ordre total lorsque la propriété "\alpha \leq \beta ou \beta \leq \alpha" n’est prouvable qu’en logique classique. Notre objectif est de donner une définition formelle correspondant à l’intuition et de démontrer que nos ordinaux constructifs satisfont de manière constructive toutes les propriétés souhaitables. Notons qu’en ajoutant la logique classique, on retrouverait les ordinaux des mathématiques classiques usuelles, au prix d’une perte de la calculabilité pour la plupart des énoncés donnés sous la forme usuelle.

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hal-03522215 , version 1 (11-01-2022)
hal-03522215 , version 2 (07-12-2024)

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Citer

Thierry Coquand, Henri Lombardi, Stefan Neuwirth. Constructive theory of ordinals. Marco Benini; Olaf Beyersdorff; Michael Rathjen; Peter Michael Schuster. Mathematics for Computation - M4C, World Scientific, pp.287-318, 2023, 978-981-124-521-3. ⟨10.1142/9789811245220_0012⟩. ⟨hal-03522215v2⟩
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