Nous donnons des conditions suffisantes pour qu'un foncteur de longueur finie d'une catégorie additive vers des espaces vectoriels de dimensions finies possède une résolution projective dont les termes sont de type fini. Pour les foncteurs polynomiaux, nous étudions également une propriété de finitude homologique plus faible, qui s'applique à la stabilité homologique à coefficients tordus des monoïdes de matrices. Ces résultats s'inspirent de travaux de Schwartz et Betley-Pirashvili, qu'ils généralisent, et utilisent les théorèmes de décomposition à la Steinberg que nous avons récemment obtenus avec Vespa. Nous montrons également, en guise d'application, une propriété de finitude pour l'homologie stable de groupes linéaires sur des anneaux appropriés.