Additional results on extensions between $p$-adic and mod $p$ principal series of $G(F)$
Compléments sur les extensions entre séries principales $p$-adiques et modulo $p$ de $G(F)$
Abstract
We complete the results of [?]. Let $G$ be a split connected reductive group over a finite extension $F$ of $\mathbb{Q}_p$. When $F=\mathbb{Q}_p$, we determine the extensions between unitary continuous $p$-adic and smooth mod $p$ principal series of $G(\mathbb{Q}_p)$ without assuming the centre of $G$ connected nor the derived group of $G$ simply connected. This shows a new phenomenon : there may exist several non-isomorphic non-split extensions between two distinct principal series. We also complete the computations of self-extensions of a principal series in the non-generic cases when the centre of $G$ is connected. Finally, we determine the extensions of a principal series of $G(F)$ by an ‘ordinary' representation of $G(F)$ (i.e., parabolically induced from a special representation twisted by a character). In order to do so, we compute Emerton's $\delta$-functor $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_B(F)$ of derived ordinary parts with respect to a Borel subgroup on an ordinary representation of $G(F)$.
Nous complétons les résultats de [?]. Soit $G$ un groupe réductif connexe déployé sur une extension finie $F$ de $\mathbb{Q}_p$. Lorsque $F=\mathbb{Q}_p$, nous déterminons les extensions entre séries principales $p$-adiques et modulo $p$ de $G(\mathbb{Q}_p)$ sans supposer le centre de $G$ connexe ou le groupe dérivé de $G$ simplement connexe. Cela fait apparaître un phénomène nouveau : il peut exister plusieurs extensions non scindées non isomorphes entre deux séries principales distinctes. Nous complétons aussi les calculs d'auto-extensions d'une série principale dans les cas non génériques lorsque le centre de $G$ est connexe. Nous déterminons enfin les extensions d'une série principale de $G(F)$ par une représentation « ordinaire » de $G(F)$ (c'est-à-dire obtenue par induction parabolique à partir d'une représentation spéciale tordue par un caractère). Pour cela, nous calculons le $\delta$-foncteur $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_B(F)$ des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe de Borel sur une représentation ordinaire de $G(F)$.