Modular Ternary Additive Problems with Irregular or Prime Numbers - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics Année : 2021

Modular Ternary Additive Problems with Irregular or Prime Numbers

Модулярные тернарные аддитивные задачи с иррегулярными или простыми числами

Résumé

Our initial problem is to represent classes $m$ modulo $q$ by a sum of three summands, two being taken from rather small sets $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ and the third one having an odd number of prime factors (the so-called irregular numbers by S. Ramanujan) and lying in a $[q^{20r}, q^{20r}+q^{16r}]$ for some given $r\ge1$. We show that it is always possible to do so provided that $|\mathcal{A}||\mathcal{B}|\ge q(\log q)^2$. This proof leads us to study the trigonometric polynomial over irregular numbers in a short interval and to seek very sharp bound for them. We prove in particular that $\sum_{q^{20r}\le s \le q^{20r}+q^{16r}}e(sa/q)\ll q^{16r}(\log q)/\sqrt{\varphi(q)}$ uniformly in $r$, where $s$ ranges through the irregular numbers. We develop a technique initiated by Selberg and Motohashi to do so. In short, we express the characteristic function of the irregular numbers via a family of bilinear decomposition akin to Iwaniec amplification process and that uses pseudo-characters or local models. The technique applies to the Liouville function, to the Moebius function and also to the van Mangold function in which case it is slightly more difficult. It is however simple enough to warrant explicit estimates and we prove for instance that $| \sum_{X<\ell\le 2X}\Lambda(\ell) e(\ell a/q) |\le 1300 \sqrt{q} X/\varphi(q)$ for $250\le q\le X^{1/24}$ and any $a$ prime to $q$. Several other results are also proved.
Исходная задача, решаемая в работе, - представить классы вычетов по модулю $q$ в виде суммы трех слагаемых, два из которых принадлежат достаточно малым множествам $\mathcal A$ и $\mathcal B$, а третье имеет нечетное число простых делителей (так называемые иррегулярные числа С. Рамануджана) и лежит в промежутке вида $[q^{20r},q^{20r}+q^{16r}]$ при некотором заданном $r\ge 1$. Доказано, что такое представление всегда возможно при условии, что $|\mathcal A|\cdot |\mathcal B|\ge q(\log {q})^2$. Доказательство этого факта приводит к изучению тригонометрических полиномов, члены которых отвечают иррегулярным числам из короткого промежутка, и к отысканию достаточно точных оценок для таких полиномов. В частности, получена равномерная по $r$ оценка $\sum _{q^{20r}\le s\le q^{20r}+q^{16r}}e(sa/q)\ll q^{16r}(\log q)/\sqrt {\varphi (q)}$, в которой $s$ пробегает иррегулярные числа. Для этого развита специальная техника, основы которой были заложены Сельбергом и Мотохаши. Говоря кратко, характеристическая функция множества иррегулярных чисел выражается через семейство билинейных сумм подобно тому, как это делается в методе усиления, разработанном Иванцом и использующем псевдохарактеры (локальные модели). Техника, развитая в настоящей работе, также применима к суммам с функцией Мeбиуса, функцией Лиувилля и функцией Мангольдта (в последнем случае она немного усложняется). Тем не менее она позволяет получить явные оценки; например, в работе доказано, что $|\sum _{X<\ell \le 2X}\Lambda (\ell ) e(\ell a/q)|\le 1300 \sqrt {q} X/\varphi (q)$ при $250\le q\le X^{1/24}$ и любых $a$, взаимно простых с $q$. Получен также ряд других результатов.
Fichier principal
Vignette du fichier
PsimKasiRamare.pdf (386.69 Ko) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-03383050 , version 1 (18-10-2021)

Identifiants

Citer

Olivier Ramaré, Gopajosiula Kasi Viswanadham. Modular Ternary Additive Problems with Irregular or Prime Numbers. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021, 314, pp.211-247. ⟨10.4213/tm4191⟩. ⟨hal-03383050⟩
16 Consultations
65 Téléchargements

Altmetric

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More