Nonlinear Second Order Elliptic Equations Involving Measures
Résumé
Au cours des 40 dernières années, les équations elliptiques semi-linéaires sont devenues un sujet d'étude central dans la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires. D'une part, l'intérêt de ce domaine est de nature théorique, en raison de ses relations profondes avec d'autres branches des mathématiques, notamment l'analyse harmonique linéaire et non linéaire, les systèmes dynamiques, la géométrie différentielle et les probabilités. D'autre part, cette étude est intéressante en raison de ses applications. Des équations de ce type se posent dans divers domaines tels que les problèmes de physique et d'astrophysique, les problèmes de courbure en géométrie riemannienne, les problèmes logistiques liés par exemple aux modèles de population et, surtout, l'étude des processus de branchement et des super-diffusions dans la théorie des probabilités.
Le but de ce livre est de présenter une étude complète des problèmes de valeurs limites pour les équations elliptiques linéaires et semi-linéaires du second ordre avec des données de mesure. Nous nous intéressons particulièrement aux équations semi-linéaires avec absorption. Les interactions entre l'opérateur de diffusion et le terme d'absorption donnent lieu à une large classe de phénomènes non linéaires dans l'étude desquels les singularités et la trace limite jouent un rôle central. Ce livre est accessible aux étudiants diplômés et aux chercheurs ayant une formation en analyse réelle et en équations aux dérivées partielles.
In the last 40 years semi-linear elliptic equations became a central subject of study in the theory of nonlinear partial differential equations. On the one hand, the interest in this area is of a theoretical nature, due to its deep relations to other branches of mathematics, especially linear and nonlinear harmonic analysis, dynamical systems, differential geometry and probability. On the other hand, this study is of interest because of its applications. Equations of this type come up in various areas such as problems of physics and astrophysics, curvature problems in Riemannian geometry, logistic problems related for instance to population models and, most importantly, the study of branching processes and superdiffusions in the theory of probability.
The aim of this book is to present a comprehensive study of boundary value problems for linear and semi-linear second order elliptic equations with measure data. We are particularly interested in semi-linear equations with absorption. The interactions between the diffusion operator and the absorption term give rise to a large class of nonlinear phenomena in the study of which singularities and boundary trace play a central role. This book is accessible to graduate students and researchers with a background in real analysis and partial differential equations.