van der Corput inequality for real line and Wiener-Wintner theorem for amenable groups
L'inégalité de van der Corput pour la droite réelle et le théorème de Wiener-Wintner pour les groupes moyennables
Résumé
We extend the classical van der Corput inequality to the real line. As a consequence, we obtain a simple proof of he classical Wiener-Wintner theorem for the R-action which assert that for any family of maps (T_t)_{ t∈R} acting on the Lebesgue measure space (Ω, A, µ) where µ is a probability measure and for any t ∈ R, T_t is measure-preserving transformation on measure space (Ω, A, µ) with T_t • T_s = T_{t+s }, for any t, s ∈ R. Then, for any f ∈ L^1 (µ), there is a a single null set off which lim_{T →+∞} 1/T \int_{0}^{T} f (T_t ω)e 2iπθt dt exists for all θ ∈ R. We further present the joining proof of the amenable group version of Wiener-Wintner theorem due to Weiss and Ornstein.
On étend l'inégalité classique de van der Corput à la droite réelle. On obteint ainsi une preuve simple du théorème de Wiener-Wintner sur la droite réelle qui affirme que pour toute famille de transformations (T_t)_{ t∈R} qui agit sur un espace de Lebesgue (Ω, A, µ) où µ est une mesure de probabilité et pour tout t ∈ R, T_t est une transformation qui préserve la mesure sur l'espace mesuré (Ω, A, µ) avec T_t • T_s = T_{t+s }, pour tout t, s ∈ R. Alors, pour tout f ∈ L^1 (µ), il existe un ensemble négligeable en dehors du quel lim_{T →+∞} 1/T \int_{0}^{T} f (T_t ω)e 2iπθt dt existe pour tout θ ∈ R. On présente aussi une preuve issue de la théorie des couplages de la version moyennable du théorème de Wiener-Wintner theorem qui est due à Weiss-Ornstein.
Domaines
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