Skew cellularity of the Hecke algebras of type $G(\ell,p,n)$ - Archive ouverte HAL
Journal Articles Representation theory : An Electronic Journal of the American Mathematical Society Year : 2023

Skew cellularity of the Hecke algebras of type $G(\ell,p,n)$

Cellularité tordue des algèbres de Hecke de type $G(\ell,p,n)$

Abstract

This paper introduces (graded) skew cellular algebras, which generalise Graham and Lehrer's cellular algebras. We show that all of the main results from the theory of cellular algebras extend to skew cellular algebras and we develop a "cellular algebra Clifford theory" for the skew cellular algebras that arise as fixed point subalgebras of cellular algebras. As an application of this general theory, the main result of this paper proves that the Hecke algebras of type G(ℓ, p, n) are graded skew cellular algebras. In the special case when p = 2 this implies that the Hecke algebras of type G(ℓ, 2, n) are graded cellular algebras. The proof of all of these results rely, in a crucial way, on the diagrammatic Cherednik algebras of Webster and Bowman. Our main theorem extends Geck's result that the one parameter Iwahori-Hecke algebras are cellular algebras in two ways. First, our result applies to all cyclotomic Hecke algebras in the infinite series in the Shephard-Todd classification of complex reflection groups. Secondly, we lift cellularity to the graded setting. As applications of our main theorem, we show that the graded decomposition matrices of the Hecke algebras of type G(ℓ, p, n) are unitriangular, we construct and classify their graded simple modules and we prove the existence of "adjustment matrices" in positive characteristic.
Cet article introduit la notion d'algèbres cellulaires tordues (graduées), qui généralisent les algèbres cellulaires de Graham et Lehrer. Nous montrons que tous les résultats principaux de la théorie des algèbres cellulaires s'étendent aux algèbres cellulaires tordues et nous développons une « théorie de Clifford cellulaire » pour les algèbres cellulaires tordues obtenues comme sous-algèbres de points fixes d'algèbres cellulaires. Comme application de cette théorie générale, le résultat principal de l'article montre que les algèbres de Hecke de type $G(\ell,p,n)$ sont cellulaires tordues graduées. Dans le cas particulier $p = 2$, cela implique que les algèbres de Hecke de type $G(\ell,2,n)$ sont cellulaires graduées. La preuve de tous ces résultats repose, de façon cruciale, sur les algèbres de Cherednik diagrammatiques de Webster et Bowman. Notre théorème principal étend de deux façons le résultat de Geck disant que les algèbres de Iwahori--Hecke à un paramètre sont cellulaires. Tout d'abord, nous résultats s'appliquent à toutes les algèbres de Hecke cyclotomiques dans la série infinie dans la classification de Shephard--Todd des groupes de réflexions complexes. De plus, nous étendons la cellularité au niveau gradué. Comme applications de notre théorème principal, nous montrons que les matrices de décomposition graduées des algèbres de Hecke de type $G(\ell,p,n)$ sont unitriangulaires, nous construisons et classifions leurs modules gradués simples et nous prouvons l'existence de « matrices d'ajustement » en caractéristique positive.
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hal-03268869 , version 1 (23-06-2021)
hal-03268869 , version 2 (21-02-2023)

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Jun Hu, Andrew Mathas, Salim Rostam. Skew cellularity of the Hecke algebras of type $G(\ell,p,n)$. Representation theory : An Electronic Journal of the American Mathematical Society, 2023, 27, pp.508-573. ⟨10.1090/ert/646⟩. ⟨hal-03268869v2⟩
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