Relaxed solutions for incompressible inviscid flows: A variational and gravitational approximation to the initial value problem
Résumé
Following Arnold's geometric interpretation, the Euler equations of an incompressible fluid moving in a domain D are known to be the optimality equation of the minimizing geodesic problem along the group of orientation and volume preserving diffeomorphisms of D. This problem admits a well-established convex relaxation which generates a set of "relaxed", "multi-stream", version of the Euler equations. However, it is unclear that such relaxed equations are appropriate for the initial value problem and the theory of turbulence, due to their lack of well-posedness for most initial data. As an attempt to get a more relevant set of relaxed Euler equations, we address the multi-stream pressure-less gravitational Euler-Poisson system as an approximate model, for which we show that the initial value problem can be stated as a concave maximization problem from which we can at least recover a large class of smooth solutions for short enough times.
Suivant l'interprétation géom\étrique d'Arnold, les équations d'Euler d'un fluide incompressible se déplaçant dans un domaine D sont connues pour être équations d'optimalité du problème des géodésiques minimisantes le long du groupe des difféomorphismes de D conservant le volume et l'orientation. Ce problème admet une relaxation convexe bien établie qui génère une version relaxée, multi-flux des équations d'Euler. Cependant, il n'est pas clair que de telles équations relaxées soient appropriées pour le problème de valeur initiale et la théorie de la turbulence, en raison de leur
caractère mal posé pour la plupart des données initiales. Pour tenter d'obtenir un ensemble plus pertinent d'équations d'Euler relaxées, nous abordons le système gravitationnel d'Euler-Poisson multi-flux sans pression en tant que modèle approximatif, pour lequel nous montrons que le problème de valeur initiale peut être formulé comme un problème de maximisation concave et à partir duquel nous pouvons au moins récupérer une grande classe de solutions régulières pendant des temps assez courts.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)