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Article Dans Une Revue Annals of Probability Année : 2021

On the derivative martingale in a branching random walk

Résumé

We work under the Aïdékon-Chen conditions which ensure that the derivative martingale in a supercritical branching random walk on the line converges almost surely to a nondegenerate nonnegative random variable that we denote by $Z$. It is shown that $\mathbf{E} Z 1_{Z≤x} = \log x + o(\log x)$ as $x \to \infty$. Also, we provide necessary and sufficient conditions under which $\mathbf{E} Z 1_{Z≤x} = \log x + \mathrm{const} + o(1)$ as $x \to \infty$. This more precise asymptotics is a key tool for proving distributional limit theorems which quantify the rate of convergence of the derivative martingale to its limit $Z$. The methodological novelty of the present paper is a three terms representation of a subharmonic function of at most linear growth for a killed centered random walk of finite variance. This yields the aforementioned asymptotics and should also be applicable to other models.
On travaille sous les conditions d'Aïdékon-Chen, qui garantissent que la martingale dérive d'une marche aléatoire branchante réelle converge presque sûrement vers une variables aléatoire positive non-dégénérée, que l'on note $Z$. On montre que $\mathbb{E} Z\mathbf{1}_{\{Z \le x\}} = \log x + o(\log x)$ quand $x \to \infty$. On donne également des conditions nécessaires et suffisantes qui garantissent que $\mathbb{E} Z\mathbf{1}_{\{Z\le x\}}=\log x+{\rm const}+o(1)$ quand $x\to\infty$. Cette asymptotique plus précise est un outil clé pour prouver des résultats de convergence en loi qui quantifient la vitesse de convergence de la martingale dérivée vers sa limite $Z$. La nouveauté méthodologique de ce papier est une décomposition en trois termes des fonctions sous-harmoniques à croissance au plus linéaire, pour une marche aléatoire centrée à variance finie tuée en 0. Ce résultat permet de démontrer les comportements asymptotiques ci-dessus et devrait être applicable à d'autres modèles.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-03192529 , version 1 (26-01-2022)

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Citer

Dariusz Buraczewski, Alexander Iksanov, Bastien Mallein. On the derivative martingale in a branching random walk. Annals of Probability, 2021, 49 (3), ⟨10.1214/20-AOP1474⟩. ⟨hal-03192529⟩
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