Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway : généralisation et alternatives - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Quadrature Année : 2021

Beyond Conway's concyclicity theorem : generalization and alternatives

Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway : généralisation et alternatives

Résumé

The famous concyclicity theorem stated by John H. Conway is here reconsidered by means of a parametrisation of the associated triangular configuration with arbitrary triplets of real numbers (α;β;γ). This theorem, thus corresponding to the case (α;β;γ)=(1;1;1), is generalized while demonstrating that there always exist an infinite family of such triplets which keeps unchanged the conclusion. The « anti-Conway » configuration corresponding to the case (α;β;γ)=(-1;-1;-1) is also investigated : Xavier Dussau’s theorem of concurrent lines is redemonstrated and completed by another concyclicity theorem. It is also proved that there exist in general a unique triplet (α;β;γ)≠(-1;-1;-1) which is a function of the sides of the considered triangle and which keeps unchanged the conclusion of Dussau’s theorem.
Le fameux théorème de cocyclicité de John H. Conway est ici reconsidéré au moyen d'un paramétrage de la configuration triangulaire associée avec des triplets quelconques (; ;) de réels. Ce théorème, qui correspond alors au cas (; ;) = (1; 1; 1), est généralisé en établissant qu'il existe une famille infinie de tels triplets tels que sa conclusion demeure. La configuration « anti-Conway » correspondant au cas (; ;) = (−1; −1; −1) est aussi étudiée : le théorème de concourance de droites de Xavier Dussau est redémontré et complété par un autre théorème de cocyclicité. Il est aussi démontré qu'il existe en général un unique triplet (; ;) ≠ (−1; −1; −1) fonction des longueurs des côtés du triangle considéré, pour lequel la conclusion du théorème de Dussau reste néanmoins valable.
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hal-03186096 , version 1 (30-03-2021)

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David Pouvreau. Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway : généralisation et alternatives. Quadrature, 2021, Quadrature, 119, pp.10-22. ⟨hal-03186096⟩
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