\(^3\) Département de mathématiques
Université de Tokyo
Tokyo, Japon
Résumé
On étudie une épidémie modélisée par un système différentiel de type S-I-R ou S-E-I-R. Pour le modèle S-I-R, on montre que la date du pic épidémique n'est pas toujours une fonction décroissante du taux de contact. Pour le modèle S-E-I-R, lorsque la population N est grande, de nouveaux éléments tendent à confirmer la conjecture selon laquelle le pic épidémique a lieu au temps T, avec \(\ T \sim (\ln N)/\lambda\ \), où λ est la plus grande valeur propre du système linéarisé.
1. Introduction
Dans [2], on a commencé à étudier la date du pic épidémique du modèle S-I-R de Kermack et McKendrick [1, chapitre 18]
\[\frac{dS}{dt} = -a S \frac{I}{N},\quad
\frac{dI}{dt} = a S \frac{I}{N} - b I,\quad
\frac{dR}{dt} = b I,
\]
dans le cas où a > b et où la population N est grande. La variable \(\,S(t)\) est le nombre de personnes non infectées, \(I(t)\) le nombre de personnes infectées, \(R(t)\) le nombre de personnes retirées de la transmission. La population totale \(\ N=S+I+R\ \) est constante. Le paramètre a est le taux de contact effectif et b le taux auquel les personnes infectées cessent d'être infectieuses. Lorsque la population N est grande, le pic épidémique (qui correspond au maximum de I) a lieu au temps T,
\[T \sim \frac{\ln N}{\lambda}\] et \(\lambda=a-b\). Autrement dit, λ est le taux de croissance du nombre de personnes infectées dans le système linéarisé \(\ dI/dt \simeq (a-b)I\) au début de l'épidémie, lorsque \(S\simeq N\).
Dans [3], on a brièvement conjecturé que l'équivalent en \(\ (\ln N)/\lambda\) pour la date du pic était la même dans le modèle S-E-I-R, qui inclut une phase latente (notée E) avant que les personnes infectées deviennent infectieuses,
\begin{eqnarray}
\frac{dS}{dt} &=& -a S \frac{I}{N},\tag{1}\\
\frac{dE}{dt} &=& a S \frac{I}{N} - b E,\tag{2}\\
\frac{dI}{dt} &=& b E-c I,\tag{3}\\
\frac{dR}{dt} &=& c I,\tag{4}
\end{eqnarray}
avec \(a>c\ \), à condition de prendre pour \(\lambda\) la plus grande valeur propre du système linéarisé au début de l'épidémie, c'est-à-dire la plus grande valeur propre de la matrice
\[M=\left (\begin{array}{cc}
-b & a\\
b & -c
\end{array} \right ). \]
Dans [7], Piovella s'est aussi intéressé à la date du pic épidémique dans le modèle S-E-I-R lorsque le rapport a/c est proche de 1, sans toutefois que ses approximations soient complètement justifiées d'un point de vue mathématique.
Dans la section 2, on rappelle tout d'abord un résultat apparemment oublié (y compris dans [2]) de [5, chapitre 2] pour le modèle S-I-R, qui précise le développement asymptotique de T :
\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{\ln \frac{N}{I(0)} + f(\mathcal{R}_0) }{\lambda} + o(1),\quad N\to +\infty,
\end{eqnarray*}
\(\mathcal{R}_0=a/b\) est la reproductivité, \(\lambda=a-b\ \) le taux de croissance, et f une fonction assez compliquée. Ce résultat semble ne figurer dans aucun livre ou article publié depuis [5], ce qui est un peu étonnant pour un modèle aussi simple et aussi connu.
On montre dans la suite de la section 2 que
\[f(\mathcal{R}_0) = \ln \Bigl [ 2(\mathcal{R}_0-1)^2 \Bigr ]+o(1), \quad \mathcal{R}_0\to 1^+.\]
On en déduit que la date du pic épidémique n'est pas toujours une fonction décroissante du taux de contact effectif a, mais que ceci ne s'observe que pour des valeurs de la reproductivité proches de 1. La date du pic atteint un maximum pour
\[\mathcal{R}_0 \simeq 1+\mathrm{e}\, \sqrt{\frac{I(0)}{2N}},\]
où e est la base des logarithmes népériens. Cette observation semble nouvelle.
Dans la section 3, on se tourne vers le modèle S-E-I-R. On rappelle ce que l'on sait sur la taille finale de l'épidémie. On précise ce que l'on entend par pic épidémique dans ce cadre, à savoir le point où E+I atteint un maximum. On trouve une nouvelle borne inférieure pour ce pic compatible avec la conjecture sur le comportement asymptotique. On présente quelques simulations pour illustrer cette conjecture.
2. Le modèle S-I-R
2.1 Une expression intégrale de T
Pour le modèle S-I-R, supposons
\[S(0)=N-i,\quad I(0)=i,\quad R(0)=0,\]
avec \(0 < i < N\). Supposons \(a>b\) et \(N\) assez grand pour que \(a(1-i/N)>b\), c'est-à-dire \(\frac{dI}{dt}(0) > 0\). Comme dans [2] (où l'on avait pris i=1), on a
\[
\frac{1}{S} \frac{dS}{dt} = -\frac{a}{bN} \frac{dR}{dt}\quad ,\quad
\ln \frac{S(t)}{S(0)} = -\frac{a}{bN} R(t).
\]
Donc
\[
\frac{dS}{dt} =-a \frac{S}{N} (N-S-R)=-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a}\ln \frac{S(t)}{S(0)} \right ).\]
Le pic de \(I(t)\) a lieu au temps T où dI/dt=0, ce qui intervient lorsque \(\ S=Nb/a\). On en déduit que
\begin{equation}\tag{5}
T=\frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-i/N} \frac{ds}{ s \left (1-s+\frac{b}{a} \ln s - \frac{b}{a} \ln (1-i/N)\right )}.
\end{equation}
2.2 La formule de Lauwerier quand \(N\to +\infty\)
On définit \(\varepsilon = -\frac{b}{a} \ln(1-\frac{i}{N})\). Avec l'astuce de [5, p. 12], on a \(\ T=T_1+T_2\) avec
\begin{eqnarray*}
T_1&=&\frac{1}{a} \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \left ( \frac{1}{ 1+\varepsilon-s+\frac{b}{a} \ln s}
- \frac{1}{ \varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s} \right ) \frac{ds}{s},\\
T_2&=&\frac{1}{a} \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \frac{ds}{ s \left (\varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s\right )}.
\end{eqnarray*}
En réduisant au même dénominateur,
\[ T_1 =\frac{1}{a} \int_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \frac{-1+s-\ln s}{[\varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s](1+\varepsilon-s+\frac{b}{a} \ln s)} \frac{ds}{s}.\]
On a : \(\varepsilon \sim \frac{b}{a} \frac{i}{N} \to 0\) si \(N\to +\infty\). Observons que l'intégrale qui intervient lorsqu'on passe formellement à la limite \(\ N\to +\infty\)
\[\int_{\frac{b}{a}}^{1} \frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s) (1-s+\frac{b}{a} \ln s)} \frac{ds}{s}\]
est a priori une intégrale généralisée en \(s=1\). Mais la fonction intégrée se prolonge par continuité en s=1, car
\[\ln s = s-1-\frac{(s-1)^2}{2}+o((s-1)^2)\]
au voisinage de \(s=1\), de sorte que
\[\frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s) (1-s+\frac{b}{a} \ln s)s} \quad \mathop{\longrightarrow}_{s\to 1} \quad \frac{1}{2(1-b/a)}.\]
En particulier, cette intégrale est convergente.
On en déduit (voir l'appendice 1) que
\[
T_1=\frac{1}{a-b} \int_{\frac{b}{a}}^{1} \frac{-1+s-\ln s}{-(\ln s) (1-s+\frac{b}{a} \ln s)} \frac{ds}{s}+o(1).\\
\]
Avec le changement de variable \(s=e^{-u}\),
\[
T_1=\frac{1}{a-b} \int_0^{\ln \frac{a}{b}} \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-\frac{b}{a}u)} du +o(1).
\]
Par ailleurs, l'intégrale \(T_2\) se calcule explicitement :
\begin{eqnarray*}
T_2&=& \frac{1}{a} \left [ \frac{\ln \left \{-\frac{b}{a} \ln(1-\frac{i}{N})-(1-\frac{b}{a})\ln s \right \}}{-(1-\frac{b}{a})} \right ]_{\frac{b}{a}}^{1-\frac{i}{N}} \\
&=& \frac{1}{a-b} \left \{ \ln \left [-\frac{b}{a} \ln \left(1-\frac{i}{N} \right )-\left (1-\frac{b}{a} \right )\ln \frac{b}{a} \right ] - \ln \left [-\ln \left (1-\frac{i}{N} \right ) \right ]\right \}\\
&=& \frac{ \ln \frac{N}{i} + \ln [(1-\frac{b}{a})\ln \frac{a}{b} ] }{a-b}+o(1) .
\end{eqnarray*}
En additionnant les deux résultats, on obtient ce que l'on peut appeler la formule de Lauwerier [5, p. 13]
\[T = \frac{1}{a-b} \left \{\ln \frac{N}{i} + \ln \left [\left (1-\frac{b}{a}\right )\ln \frac{a}{b} \right ] + \int_0^{\ln \frac{a}{b}} \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-\frac{b}{a}u)} du \right \} +o(1),\]
ou
\[T = \frac{1}{a-b} \left \{\ln \frac{N}{i} + f(\mathcal{R}_0) \right \} +o(1)\]
avec \(\mathcal{R}_0=a/b>1\).
La figure 1 montre à quel point la formule de Lauwerier donne une bonne approximation de la date T du pic épidémique. On a utilisé le logiciel libre Scilab pour le calcul numérique des intégrales. On a choisi le paramètre b de sorte que la période infectieuse dure en moyenne \(1/b=4\) jours.
Figure 1. La date T du pic épidémique du modèle S-I-R (en jours écoulés depuis le début de l'épidémie) en fonction de \(\ \ln N\ \) (ligne continue) selon la formule exacte (5) et la formule approchée de Lauwerier (petits cercles). Valeurs des paramètres : \(\ I(0)=1\), \(b=1/4\) par jour, \(\mathcal{R}_0=a/b\in \{\mbox{1,5} ; \, 2 ;\, 3\}\).
Remarque. La formule de Lauwerier reste inchangée si l'on part de la condition initiale
\[S(0)=N-i-r,\quad I(0)=i,\quad R(0)=r,\]
avec \(i > 0\), \(r\geq 0\), \(i+r < N\) et \(a(1-\frac{i+r}{N})>b\). En effet, posons
\[\widehat{N}=N-r=N(1-r/N), \quad \widehat{R}(t)=R(t)-r, \quad \widehat{a}=a\widehat{N}/N=a(1-r/N).\]
Alors
\[\frac{dS}{dt} = -\widehat{a} S \frac{I}{\widehat{N}},\quad
\frac{dI}{dt} = \widehat{a} S \frac{I}{\widehat{N}} - b I,\quad
\frac{d\widehat{R}}{dt} = b I,
\]
\[S(0)=\widehat{N}-i,\quad I(0)=i,\quad \widehat{R}(0)=0.\]
Donc
\[T = \frac{1}{\widehat{a}-b} \left \{\ln \frac{\widehat{N}}{i} + f(\widehat{a}/b) \right \} +o(1), \quad \widehat{N}\to +\infty.\]
Mais comme \(\widehat{N}\to +\infty\) équivaut à \(N\to +\infty\), et comme \(\widehat{a}=a+O(1/N)\), on retombe sur
\[T = \frac{1}{a-b} \left \{\ln \frac{N}{i} + f(a/b) \right \} +o(1), \quad N\to +\infty.\]
2.3 Étude de la fonction \(f(\mathcal{R}_0)\)
La figure 2 montre comment \(f(\mathcal{R}_0)\) varie en fonction de \(\mathcal{R}_0\). On remarque que \(\ f(\mathcal{R}_0)\) semble être une fonction croissante (ce n'est pas évident, même en calculant la dérivée) et \(f(\mathcal{R}_0)=0\) si \(\mathcal{R}_0\simeq \mbox{2,10}\).
Figure 2.
\(f(\mathcal{R}_0)\) en fonction de \(\mathcal{R}_0\) (ligne continue) et l'approximation (6) au voisinage de \(\mathcal{R}_0=1\) (en pointillé).
Avec \(\mathcal{R}_0\to 1^+\), \(\ln \mathcal{R}_0 = (\mathcal{R}_0-1)(1+o(1))\) et
\[\ln \left [\left (1-\frac{1}{\mathcal{R}_0}\right )\ln \mathcal{R}_0 \right ] = \ln \left [(\mathcal{R}_0-1)^2 \right ] + o(1) = 2 \ln (\mathcal{R}_0-1) + o(1). \]
Au voisinage de \(u=0^+\),
\begin{align*}
\frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-u/\mathcal{R}_0)} &= \frac{u^2/2 +o(u^2)}{u(u-u^2/2 +o(u^2) - u/\mathcal{R}_0)}\\
&= \frac{1+o(1)}{2(1-1/\mathcal{R}_0)-u+o(u)}.
\end{align*}
Mais
\begin{align*}
\int_0^{\ln \mathcal{R}_0} \frac{du}{2(1-1/\mathcal{R}_0)-u} &= \Bigl [ -\ln \bigl \{ 2(1-1/\mathcal{R}_0)-u\bigr \} \Bigr ]_0^{\ln \mathcal{R}_0}\\
&= -\ln \frac{2(1-1/\mathcal{R}_0)-\ln \mathcal{R}_0}{2(1-1/\mathcal{R}_0)}\\
&= -\ln \Bigl [ 1 - \frac{\ln \mathcal{R}_0}{2(1-1/\mathcal{R}_0)} \Bigr ]\\
& \mathop{\longrightarrow}_{\mathcal{R}_0\to 1^+} -\ln (1/2) = \ln 2
\end{align*}
On en déduit (voir l'appendice 2) que
\begin{equation}\tag{6}
f(\mathcal{R}_0) = \ln \Bigl [ 2(\mathcal{R}_0-1)^2 \Bigr ]+o(1), \quad \mathcal{R}_0\to 1^+.
\end{equation}
Cette approximation coïncide avec celle suggérée dans [2, p. 11] en partant de l'approximation (non rigoureuse) de Kermack et McKendrick pour le modèle S-I-R lorsque \(\ \mathcal{R}_0\) est proche de 1.
2.4 La date du pic n'est pas une fonction monotone du taux de contact
Ainsi, lorsque N est grand et \(\ \mathcal{R}_0\) proche de 1 avec \(N(\mathcal{R}_0-1)^2\) pas trop petit,
\[T \simeq \frac{\ln \left [ (N/i) 2 (a/b-1)^2 \right ]}{a-b}.\]
Donc
\begin{align*}
\frac{\partial T}{\partial a}& \simeq \frac{2 - \ln \left [ (N/i) 2(a/b-1)^2 \right ]}{(a-b)^2} .
\end{align*}
On remarque que \(\frac{\partial T}{\partial a} \simeq 0\) si
\[\frac{a}{b} \simeq 1+\mathrm{e}\, \sqrt{\frac{i}{2N}}.\]
Avec cette valeur de a, notons-la \(\ a^*\ \), la valeur correspondante du maximum de T est
\[T_{\max} \simeq \frac{2}{a^*-b} = \frac{2}{b \, \mathrm{e}} \, \sqrt{\frac{2N}{i}}.\]
La date du pic n'est donc pas une fonction monotone décroissante du taux de contact, comme on pourrait le croire a priori. La figure 3 illustre ceci avec quelques exemples numériques.
figure 3. La date T du pic épidémique selon la formule exacte (5), en fonction du taux de contact a avec \(\ a>b/(1-i/N)\) si \(i=1\) et \(N\in \{100;\, 1000;\, 10000\}\). On a choisi l'unité de temps de sorte que b=1.
3. Le système S-E-I-R
Considérons désormais le système S-E-I-R (1)-(4). On suppose \(\ N>0\), \(a>0\), \(b>0\) et \(c>0\). On suppose aussi \(\ a>c\). Les conditions initiales sont
\[S(0)=N-n_E-n_I> 0,\quad E(0)=n_E\geq 0, \quad I(0)=n_I\geq 0, \quad R(0)=0,\]
avec \(n_E+n_I>0\). On a
\begin{equation}\tag{7}
S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N, \quad \forall t > 0,
\end{equation}
\(S(t)>0\), \(E(t)>0\), \(I(t)>0\) et \(R(t)>0\).
3.1 La taille finale de l'épidémie
La fonction \(S(t)\) est décroissante d'après l'équation (1) et positive, donc elle converge vers une limite \(S_\infty\). La fonction \(\ R(t)\ \) est croissante d'après l'équation (4) et inférieure à N, donc elle converge vers une limite \(\ R_\infty\). Comme les fonctions E(t) et I(t) sont bornées par N si \(\ t \in ]0;+\infty[\), la fonction \(dI/dt\) est aussi bornée d'après l'équation (3), de même que \(d^2R/dt^2\ \) d'après l'équation (4). La fonction \(\ R(t)\) est
donc convergente quand \(t\to +\infty\ \) avec une dérivée seconde bornée ; donc \(\ dR/dt \to 0\ \) (voir par exemple [4, II.3.21] ou l'appendice 3). Avec l'équation (4), on voit que \(\ I(t)\to 0\). La fonction \(\ dE/dt\) est bornée d'après l'équation (2), de même que \(d^2I/dt^2\ \) d'après l'équation (3). Donc \(\ dI/dt \to 0\ \) comme précédemment. D'après l'équation (2), \(\ E(t)\to 0\). Avec l'équation (7), on obtient à la limite \(\ S_\infty+ R_\infty=N\). D'après les équations (1) et (4),
\[\frac{dR}{dt} = - \frac{cN}{aS} \frac{dS}{dt}.\]
Donc
\begin{equation}\tag{8}
R(t)=- \frac{cN}{a} \ln \frac{S(t)}{S(0)} .
\end{equation}
À la limite, on en déduit que \(S_\infty>0\) et que
\[S_\infty=N-R_\infty=N+ \frac{cN}{a} \ln \frac{S_\infty}{S(0)} .\]
On définit \(x_\infty=S_\infty/N\), \(x_0=S(0)/N\) et
\[g(x)=1-x+ \frac{c}{a} \ln \frac{x}{x_0}.\]
On a donc \(g(x_\infty)=0\) et \(0 < x_\infty \leq 1\). Mais
\begin{align*}
&g'(x)=-1+ \frac{c}{ax}>0,\quad \quad 0 < x < c/a,\\
&g'(x) < 0, \quad \quad\quad\quad\quad \quad \quad c/a < x < 1.
\end{align*}
Par ailleurs,
\begin{align*}
&g(1)=\frac{c}{a} \ln \frac{1}{x_0} > 0,\\
&g(x)\to -\infty, \quad \quad x\to 0^+,\\
&g(c/a)=1-\frac{c}{a}+ \frac{c}{a} \ln \frac{c/a}{x_0} > 1-\frac{c}{a}+ \frac{c}{a} \ln \frac{c}{a} > 0.
\end{align*}
Cette dernière inégalité vient de l'hypothèse \(c/a < 1\) et du fait que la fonction \(h(u)=1-u+u\ln u\) vérifie \(h'(u)=\ln u < 0\) si \(u\in]0;1[\) et \(h(1)=0\), de sorte que \(h(u) > 0\) si \(u\in]0;1[\).
Par conséquent, la fonction g croît de −∞ à \(\ g(c/a) > 0\) sur l'intervalle \(]0,c/a[\), puis décroît de \(g(c/a) > 0\) à \(g(1) > 0\) sur l'intervalle \(]c/a,1[\). L'équation \(\ g(x)=0\) a donc une unique solution dans l'intervalle \(]0;1]\) et cette solution se trouve dans \(]0;c/a[\). On en conclut que
\[0 < S_\infty/N < c/a.\]
3.2 Le pic épidémique
Précisons notre définition du pic épidémique. On a
\begin{equation}\tag{9}
\frac{d}{dt}(E+I) = (aS/N - c) I.
\end{equation}
Supposons
\[S(0)/N = 1-(n_E+n_I)/N > c/a. \]
Avec l'hypothèse a>c, cette inégalité est vraie dès que N est assez grand. On a \(\ I(t)>0\ \forall t>0\). La fonction S est strictement décroissante et décroît de \(S(0) > N c/a\) jusqu'à \(S_\infty < N c/a\) sur l'intervalle \([0;+\infty[\). Il existe donc un unique \(\ T > 0\) avec \(S(T)=N c/a\). D'après l'équation (9), la fonction E+I est strictement croissante sur l'intervalle [0;T] puis strictement décroissante sur l'intervalle \(\ [T\, ;\, +\infty[\). On appelle T le pic épidémique. Notons qu'il ne correspond en général ni au maximum de I, ni à celui de E.
D'après l'équation (8), on a aussi
\begin{equation}\tag{10}
E(T)+I(T) = N-S(T)-R(T)=N-S(T)+\frac{cN}{a} \ln \frac{S(T)}{S(0)}.
\end{equation}
Puisque \(S(T)=Nc/a\), on a
\[E(T)+I(T) = N \left (1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a} \ln \frac{Nc}{a\,S(0)} \right ),\]
comme Hethcote l'a déjà observé dans [6, p. 35].
3.3 Borne inférieure
Comme \(S/N\leq 1\), on a
\[\frac{dE}{dt} \leq - b E + a I\]
\[\frac{dI}{dt} = b E - c I.\]
Dans la suite, l'inégalité ≤ entre vecteurs signifie l'inégalité pour toutes les composantes.
On rappelle le théorème de comparaison pour les systèmes quasi-monotones (voir par exemple [8, appendice E] ou l'appendice 4) :
si \(d \geq 2\) est un entier, si \(F\in C^1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)\), \(X\in C^1([0,+\infty[,\mathbb{R}^d)\) et \(Y\in C^1([0,+\infty[,\mathbb{R}^d)\) vérifient
\begin{eqnarray*}
&& \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) \geq 0\quad \forall i \neq j,\quad \forall x\in \mathbb{R}^d,\\
&& \frac{dX}{dt}-F(X(t)) \leq \frac{dY}{dt}-F(Y(t))\quad \forall t>0,\\
&&X(0) \leq Y(0),
\end{eqnarray*}
alors \(X(t) \leq Y(t) \quad \forall t>0\).
Soit M la matrice définie dans l'introduction. On choisit \(\ d=2\),
\[X(t)=\left (\begin{array}{c} E(t) \\ I(t) \end{array} \right ), \quad Y(t)=e^{tM} \left (\begin{array}{c} n_E \\ n_I \end{array} \right ), \quad F(x)=Mx.\]
On a
\[ \frac{dX}{dt}-F(X(t)) \leq 0 = \frac{dY}{dt}-F(Y(t))\quad \forall t>0,\]
\(X(0) = Y(0)\ \) et l'hypothèse sur F est vérifiée parce que les coefficients non diagonaux de la matrice M sont positifs. Donc
\[\left (\begin{array}{c} E(t) \\ I(t) \end{array} \right ) \leq e^{tM} \left (\begin{array}{c} n_E \\ n_I \end{array} \right ), \quad \forall t\geq 0.\]
L'exponentielle de matrice \(\ e^{tM}\ \) se calcule explicitement [9, proposition 6] avec les valeurs propres de la matrice M, qui sont
\[\lambda_\pm = \frac{-b-c\pm \sqrt{(b-c)^2+4ab}}{2}.\]
On a
\[ e^{tM} = \left ( \begin{array}{cc}
\frac{e^{\lambda_+ t}+e^{\lambda_- t}}{2} + \frac{c-b}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \frac{e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}}{2}&
\frac{a \left (e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}\right )}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \\
& \\
\frac{b \left (e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}\right )}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} & \frac{e^{\lambda_+ t}+e^{\lambda_- t}}{2} + \frac{b-c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \frac{e^{\lambda_+ t}-e^{\lambda_- t}}{2}
\end{array}
\right ) \quad \forall t\geq 0.\]
On en déduit que
\begin{eqnarray*}
E(T)+I(T) &\leq & (1\quad 1) \ e^{TM} \left (\begin{array}{c} n_E \\ n_I \end{array} \right ) \\
&\leq & \left (\frac{e^{\lambda_+ T}+e^{\lambda_- T}}{2} + \frac{b+c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \frac{e^{\lambda_+ T}-e^{\lambda_- T}}{2}\right ) n_E \\
& &+ \left (\frac{e^{\lambda_+ T}+e^{\lambda_- T}}{2} + \frac{2a+b-c}{\sqrt{(b-c)^2+4ab}} \frac{e^{\lambda_+ T}-e^{\lambda_- T}}{2}\right ) n_I.
\end{eqnarray*}
Parce que \(\lambda_- < \lambda_+\ \), il existe une constante \(k>0\), qui dépend de a, b, c, nE et nI (mais pas de N), telle que
\[E(T)+I(T) \leq k\, e^{\lambda_+ T}.\]
Mais (10) montre que
\[E(T)+I(T) = N \left (1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a} \ln (c/a)\right ) - \frac{cN}{a} \ln (S(0)/N).\]
Parce que \(S(0)/N<1\), on a donc
\[N \left (1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a} \ln (c/a)\right ) \leq E(T)+I(T) \leq k\, e^{\lambda_+ T}.\]
Il existe ainsi une autre constante \(K\in \mathbb{R}\), qui dépend de a, b, c, nE et nI (mais pas de N), telle que
\[T \geq \frac{\ln N}{\lambda_+} +K.\]
Cette borne inférieure est compatible avec la conjecture
\[T \sim \frac{\ln N}{\lambda_+}, \quad N\to +\infty.\]
3.4 Exemples
On a choisi \(b=1/3\) par jour, \(c=1/4\) par jour, \(n_E=1\), \(n_I=0\), et trois valeurs du taux de contact a de sorte que \(\ a/c \in \{1,5\ ;\ 2\ ;\ 3\}\). Ainsi, une période infectieuse qui dure en moyenne 4 jours succède à une période latente qui dure en moyenne 3 jours. On a pris diverses valeurs pour la population N entre \(\ 10^2\) et \(10^8\). On a résolu le système différentiel (avec le logiciel libre Scilab) et on a repéré le pic T qui correspond au maximum de E+I. La figure 4 montre comment T varie en fonction de \(\ \ln N\ \) (lignes continues). On montre aussi \(\ (\ln N)/\lambda_+\ \) (petits ronds). Les pentes semblent coïncider, comme dans la conjecture. La figure suggère aussi que le terme suivant dans le développement asymptotique de T est encore une constante, qui est négative quand a/c est proche de 1 et qui devient positive quand le rapport a/c augmente. Déterminer cette constante en fonction des paramètres du modèle semble une tâche difficile.
Figure 4. La date T du pic épidémique du modèle S-E-I-R en fonction de \(\ \ln N\) d'après les simulations numériques (lignes continues) et \((\ln N)/\lambda_+\) (petits ronds).
Appendice 1
Avec \(b/a < s < 1\), on définit
\begin{align*}
\psi_\varepsilon(s)&=
\frac{1}{a} \ \frac{-1+s-\ln s}{[\varepsilon-(1-\frac{b}{a})\ln s](1+\varepsilon-s+\frac{b}{a} \ln s)s} \ , \\
\psi(s)&=
\frac{-1+s-\ln s}{-(a-b)(\ln s)(1-s+\frac{b}{a} \ln s)s} \ .
\end{align*}
On a : \( 0 < \psi_\varepsilon(s) < \psi(s)\).
On a vu dans la section 2.2 que \(\ \int_{b/a}^1 \psi(s) \, ds\ \) était une intégrale convergente. D'après le théorème de convergence dominée,
\[ \int_{b/a}^1 \psi_\varepsilon(s) \, ds \mathop{\longrightarrow}_{N\to +\infty} \int_{b/a}^1 \psi(s) \, ds.\]
De plus,
\[0\leq \int_{1-i/N}^1 \psi_\varepsilon(s) \, ds \leq \int_{1-i/N}^1 \psi(s) \, ds \mathop{\longrightarrow}_{N\to +\infty} 0.\]
Donc
\[ \int_{b/a}^{1-i/N} \psi_\varepsilon(s) \, ds = \int_{b/a}^1 \psi_\varepsilon(s) \, ds - \int_{1-i/N}^1 \psi_\varepsilon(s) \, ds \mathop{\longrightarrow}_{N\to +\infty} \int_{b/a}^1 \psi(s) \, ds.\]
Appendice 2
On définit
\[ \phi(u)= \frac{-1+e^{-u}+u}{u(1-e^{-u}-u/\mathcal{R}_0)} -\frac{1}{2(1-1/\mathcal{R}_0)-u}. \]
On va montrer que
\[ \int_0^{\ln \mathcal{R}_0} \phi(u)\, du \mathop{\longrightarrow}_{\mathcal{R}_0 \to 1^+} 0. \]
En réduisant au même dénominateur, on remarque que
\[ \phi(u)= (1-1/\mathcal{R}_0)\, \frac{e^{-u}-1+u-u^2/2}{u \, (1-e^{-u}-u/\mathcal{R}_0) \, (1-1/\mathcal{R}_0-u/2)}\, . \]
D'après la formule de Taylor-Lagrange,
\[\forall u>0,\ \exists \theta\in ]0,1[,\ e^{-u}=1-u+\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{6} \, e^{-\theta u}. \]
Donc \(\ \forall u>0\),
\[\left |e^{-u}-1+u-\frac{u^2}{2} \right | \leq \frac{u^3}{6}.\]
\begin{align*}
1-e^{-u}-u/\mathcal{R}_0&=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6} \, e^{-\theta u}-u/\mathcal{R}_0\\
&>u-\frac{u^2}{2}-u/\mathcal{R}_0 =u(1-1/\mathcal{R}_0-u/2).
\end{align*}
On remarque que pour \(0 < u < \ln \mathcal{R}_0\),
\[1-1/\mathcal{R}_0-u/2 >1-1/\mathcal{R}_0-(\ln \mathcal{R}_0)/2 \mathop{\sim}_{\mathcal{R}_0 \to 1^+} (\mathcal{R}_0-1)/2 > 0. \]
Avec \(\mathcal{R}_0\) proche de 1, on a donc \(1-1/\mathcal{R}_0-(\ln \mathcal{R}_0)/2 > 0\). Ainsi,
\begin{align*}
\left | \int_0^{\ln \mathcal{R}_0} \phi(u)\, du \right | &\leq \frac{1-1/\mathcal{R}_0}{[1-1/\mathcal{R}_0-(\ln \mathcal{R}_0)/2]^2} \int_0^{\ln \mathcal{R}_0} \frac{u}{6} \, du \\
&= \frac{1-1/\mathcal{R}_0}{[1-1/\mathcal{R}_0-(\ln \mathcal{R}_0)/2]^2} \frac{(\ln \mathcal{R}_0)^2}{12} \mathop{\sim}_{\mathcal{R}_0 \to 1^+} \frac{\mathcal{R}_0-1}{3} \mathop{\longrightarrow}_{\mathcal{R}_0 \to 1^+} 0.
\end{align*}
Appendice 3
Soit \(Z:]0,+\infty[\to \mathbb{R}\) une fonction deux fois dérivable telle que \(Z(x)\to L\) quand \(x \to +\infty\) et \(|Z''(x)| \leq M\ \forall x > 0\). [4, II.3.21] montre que \(\ Z'(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
En effet, soit ε > 0. Alors
\[\exists x_0 > 0,\ \forall x > x_0,\ |Z(x)-L| \leq \varepsilon^2/(4M).\]
D'après la formule de Taylor-Lagrange,
\[\forall x > 0,\ \forall h > 0,\ \exists \theta \in ]0,1[, \quad Z(x+h)=Z(x)+h Z'(x) +\frac{h^2}{2} Z''(x+\theta h).\]
Donc
\[\forall x > x_0,\ \forall h > 0,\quad |Z'(x)| \leq \frac{|Z(x+h)-Z(x)|}{h}+\frac{Mh}{2} \leq \frac{\varepsilon^2}{2Mh}+\frac{Mh}{2} .\]
Avec \(h=\varepsilon/M\), on obtient \(|Z'(x)| \leq \varepsilon \ \forall x > x_0\).
Appendice 4
Avec les notations de la section 3.3, posons \(U(t)=Y(t)-X(t)\) et
\[H(t)= \frac{dY}{dt}-F(Y(t)) - \left [\frac{dX}{dt}-F(X(t)) \right ].\]
Par hypothèse, on a l'inégalité vectorielle \(H(t)\geq 0\). Par ailleurs,
\[\frac{dU}{dt} = H(t)+F(X(t)+U(t))-F(X(t))=\phi(t,U(t)),\]
avec
\[\phi_i(t,U(t))=H_i(t)+\sum_j \left [ \int_0^1 \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(X(t)+s\, U(t))\ ds \right ] U_j(t).\]
Si on suppose \(x_j\geq 0\ \forall j\) et \(x_i=0\), alors \(\phi_i(t,x)\geq 0\) en raison de l'hypothèse sur le signe des dérivées partielles de la fonction \(F\). Le cône \(\ \mathbb{R}_+^d\ \) est donc une région invariante. Comme \(\ U(0)\geq 0\), il en résulte que \(U(t)\geq 0\) et \(X(t)\leq Y(t)\ \forall t\geq 0\).