Mahler's measure and elliptic curves with potential complex multiplication
Mesure de Mahler et courbes elliptiques avec multiplication complexe
Résumé
Given an elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$ which has potential complex multiplication by the ring of integers $\mathcal{O}_K$ of an imaginary quadratic field $K$ we construct a polynomial $P_E \in \mathbb{Z}[x,y]$ which is a planar model of $E$ and such that the Mahler measure $m(P_E) \in \mathbb{R}$ is related to the special value of the $L$-function $L(E,s)$ at $s = 2$.
Soit $E$ une courbe elliptique définie sûr $\mathbb{Q}$, avec multiplication complexe par l'ordre maximal $ \mathcal{O}_K $ d'un corps quadratique imaginaire $K$. Le résultat principal de l'article monstre l'existence d'un polynôme $ P \in \mathbb{Z}[x,y] $ et de deux nombres explicites $ r \in \mathbb{Q}^\times $ et $ s \in \overline{\mathbb{Q}}^\times $ tels que $m(P) = r \cdot L'(E,0) + \log\lvert s \rvert$, où $ m(P) := \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \log\lvert P(e^{2 \pi i \theta_1},e^{2 \pi i \theta_2}) \rvert d\theta_1 d\theta_2 $ est la mesure de Mahler de $P$. Le polynôme $ P $ et les nombres $ r $ et $ s $ dépendent de la géométrie de la courbe $ E $.
Fichier principal
[Pengo]-Mahler_measure_and_CM_elliptic_curves.pdf (586.41 Ko)
Télécharger le fichier
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|
Loading...