Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné - version 2 * - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2020

Concentration and confinement of eigenfunctions in a bounded open set - version 2

Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné - version 2 *

Matania Ben-Artzi
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 837264
Yves Dermenjian

Résumé

Let −∆ be the Laplacian in Ω := (0, L) × (0, H), subject to Dirichlet boundary conditions and let u be an eigenfunction of −∆. For any open set ω ⊂ Ω define R ω (u) = u 2 L 2 (ω) u 2 L 2 (Ω). It is well known that there exists a constant C ω > 0 such that C ω ≤ R ω (u) for all eigenfunctions. This is no longer true for certain more general second-order elliptic operators and many authors have considered this subject whose [2] recently. This work is concerned with such operators, occuring in "layered media". In this more general case the set of eigenfunctions is the disjoint union of two non-empty sets F N G ∪ F G as follows.-non-guided eigenfunctions : ∀ω = ∅, any u ∈ F N G satisfies R ω (u) > C ω , * fichier : concentration-confinement-reformatage-v2tertio-ter.tex 1-guided eigenfunctions : ∃ω, ω = ∅, such that inf u∈F G R ω (u) = 0. The paper deals with a spectral characterization of theses two sets among others things. The layered structure of the operator permits a representation of its spectrum as a subset of points indexed by (k, l) ∈ N × N. This allows a geometric description of the guided and non-guided eigenfunction categories. Section 4.1 of the previous version was not correct, now it is corrected, many proofs are simplified and a new general result is added.
Si ω et Ω, ω ⊂ Ω := (0, L) × (0, H), sont deux ouverts bornés de R 2 , il est bien connu qu'il existe une constante C ω telle que 0 < C ω ≤ R ω (u) := u 2 L 2 (ω) u 2 L 2 (Ω) < Vol(ω) Vol(Ω) pour toute fonc-tion propre u du Laplacien-Dirichlet −∆ sur Ω. Ce résultat n'étant plus exact pour un opérateur autoadjoint elliptique A du deuxième ordre sans coefficients constants, plusieurs travaux l'ont considéré dont récemment [2]. On crée une partition F N G ∪ F G de l'ensemble des fonctions propres de l'opérateur A :-les fonctions propres non guidées i.e. ∀ω = ∅, ∃C ω > 0 tel que R ω (u) > C ω , si u ∈ F N G ,-les fonctions propres guidées i.e. ∃ω = ∅, tel que inf u∈F G R ω (u) = 0. Entre autres choses, le papier caractérise spectralement ces deux ensembles pour des modèles très simples de milieux stratifiés, ce qui donne une condition suffisante, et parfois nécessaire. La stratification permet le passage de la représentation habituelle du spectre de l'opérateur A, i.e. σ(A) ⊂ R,à une représentationà deux indices d'où une description géométrique des deux familles de fonctions propres. Dans la précédente version, la section 4.1était incorrecte, elle est donc corrigée, d'autres preuves sont simplifiées et un résultat plus général ajouté. Abstract
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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Dates et versions

hal-02926376 , version 1 (31-08-2020)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02926376 , version 1

Citer

Assia Benabdallah, Matania Ben-Artzi, Yves Dermenjian. Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné - version 2 *. 2020. ⟨hal-02926376⟩

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