On the spectral type of rank one flows and Banach problem with calculus of generalized Rieszproducts on the real line - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2020

On the spectral type of rank one flows and Banach problem with calculus of generalized Rieszproducts on the real line

Le type spectral des flots de rang un et le problème de Banach avec le calcul des produits de Riesz généralisés sur la droite réelle

Résumé

It is shown that a certain class of Riesz product type measures on R is realized a spectral type of rank one flows. As a consequence, we will establish that some class of rank one flows has a singular spectrum. Some of the results presented here are even new for the Z-action. Our method is based, on one hand, on the extension of Bourgain-Klemes-Reinhold-Peyrière method, and on the other hand, on the extension of the Central Limit Theorem approach to the real line which gives a new extension of Salem-Zygmund Central Limit Theorem. We extended also a formula for Radon-Nikodym derivative between two generalized Riesz products obtained by el Abdalaoui-Nadkarni and a formula of Mahler measure of the spectral type of rank one flow but in the weak form. We further present an affirmative answer to the flow version of the Banach problem, and we discuss some issues related to flat trigonometric polynomials on the real line in connection with the famous Banach-Rhoklin problem in the spectral theory of dynamical systems. AMS Subject Classifications (2010): 37A15, 37A25, 37A30, 42A05, 42A55.
On établit qu'une certaine classe de produit de Riesz est réalisée comme type spectral de flot de rang un. On en déduit alors que certaine classe de flot de rang ont un spectre singulier. Parmi les résultats présentés certaine sont même nouveau pour l'action de Z. Notre méthode est basée, d'un côté, sur l'extension des méthodes de Bourgain-Klemes-Reinhold-Peyrière, et de l'autre côté, sur l'extension de la méthode du théorème de central limite adaptée pour la droite réelle. Ceci permet d'obtenir une extension du théorème de central limite de Salem-Zygmund aux polynômes à fréquences réelles. On étend aussi la formule de la dérivée de Radon-Nikodym entre deux produits de Riesz généralisés obtenue par el Abdalaoui-Nadkarni et une formule de la mesure de Mahler du type spectral d'un flot de rang un sous une forme faible. On présente aussi une solution positive au problème de Banach, et nous discutons quelques problèmes liées aux polynômes trigonométriques plats sur la droite réelle en lien avec le problème de Banach-Rhoklin dans la théorie spectrale des systèmes dynamiques.
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hal-02892923 , version 1 (07-07-2020)

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Citer

E. H. El Abdalaoui. On the spectral type of rank one flows and Banach problem with calculus of generalized Rieszproducts on the real line. 2020. ⟨hal-02892923⟩
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