Sur le pic épidémique dans un modèle S-I-R

\(\mathrm{Nicolas\ Baca\ddot{e}r}\)

\(\mathrm{Institut\ de\ recherche\ pour\ le\ d\acute{e}veloppement}\)
Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes
Les Cordeliers, Paris, France
nicolas.bacaer@ird.fr

Résumé

On étudie le comportement asymptotique, lorsque la taille \(N\) de la population est grande, du temps \(T\) que met une épidémie modélisée par un système de type S-I-R pour atteindre son pic. On trouve que \(T\sim (\log N)/(a-b)\), où \(a\) est le taux de contact effectif et \(b\) le taux auquel les personnes infectieuses cessent de l'être.

Le modèle S-I-R

    Considérons comme dans [4, p. 75] le modèle classique pour une épidémie \[\frac{dS}{dt} = -a \frac{S I}{N},\quad \frac{dI}{dt} = a \frac{S I}{N} - b I,\quad \frac{dR}{dt}=b I,\] où \(S(t)\) est le nombre de personnes susceptibles d'être infectées, \(I(t)\) le nombre de personnes infectées, \(R(t)\) le nombre de personnes retirées de la transmission (par suite d'un confinement, d'une guérison ou d'un décès) et \(N=S(t)+I(t)+R(t)\) la population totale supposée constante. Considérons les conditions initiales \[S(0)=N-1,\quad I(0)=1,\quad R(0)=0.\] On supposera \(a>b\).

    Un exemple se trouve dans la figure 1. On a choisi \(N=65\times 10^6\), \(a=1/2\) par jour et \(b=1/4\) par jour. Ceci correspond à une durée moyenne d'infection \(1/b\) de 4 jours et à une reproductivité \(\mathcal{R}_0=a/b=2\) (le terme et la notation proviennent de [5, p. 102]). Sans prétendre être réaliste, il s'agit de valeurs du même ordre de grandeur que ce qu'on peut trouver pour le coronavirus dans le cas hypothétique où il n'y aurait aucune intervention pour réduire l'épidémie [3].

Figure 1. Une simulation du modèle S-I-R.

    En combinant la première et la troisième équation, il est bien connu [4, p. 76] qu'on trouve une intégrale première du système différentiel : \[ \frac{1}{S} \frac{dS}{dt} = -a\, \frac{I}{N} = - \frac{a}{bN} \frac{dR}{dt}, \] d'où \(\log [S(t)/S(0)] = -\frac{a}{bN} R(t)\). En reportant dans la première équation, on trouve \[\frac{dS}{dt}=-a \frac{S}{N} (N-S-R) =-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a} \log [S(t)/S(0)]\right ).\] Le pic épidémique de la figure 1 correspond à \(dI/dt=0\), ce qui arrrive d'après la deuxième équation quand \(S(t)=Nb/a\). Notons que \(S(t)\) est monotone décroissante. On en déduit que si \(T\) est l'instant du pic épidémique, c'est-à-dire si \[I(T)=\max_{t>0} I(t),\] alors \[T=\int_0^T dt = \int_{S(0)}^{bN/a} \frac{dS}{-a \frac{S}{N} \left (N-S+\frac{bN}{a} \log [S/S(0)]\right )}.\] Posons \(s=S/N\). Alors \begin{equation}\tag{1} T=\frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{ s \left (1-s+\frac{b}{a} \log [s/(1-1/N)]\right )}. \end{equation}

Le comportement asymptotique du pic épidémique

    Cherchons une majoration de \(T\). Pour \(b/a < s < 1-1/N\), on remarque que \[\frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \log [s/(1-1/N)] \right )}\leq \frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \log s \right )}.\] Or au voisinage de \(s=1\), on a \[ \frac{1}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \log s \right )} \sim \frac{1}{(1-s)(1-b/a)}\, .\] L'intégrale \(\int_{b/a}^1 \frac{ds}{1-s}\) est divergente. Lorsque \(N\to +\infty\), on a donc \[T \leq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{s \left (1-s+\frac{b}{a} \log s \right )} \sim \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{(1-s)(1-b/a)}\sim \frac{\log N}{a-b}\, .\]

    Cherchons maintenant une minoration de \(T\). Pour tout \(s > 0\), \(\log s \leq s-1\). On a par ailleurs \(\log(1-1/N) \geq -2/N\) pour tout entier \(N\geq 2\). On en déduit que pour tout \(s\in ]b/a,1-1/N[\) et tout entier \(N\geq 2\), \begin{eqnarray*} 1-s+\frac{b}{a} \log [s/(1-1/N)] &=& 1-s+\frac{b}{a} \log s - \frac{b}{a} \log(1-1/N)\\ &\leq& 1-s+\frac{b}{a}(s-1)+\frac{2b}{aN}. \end{eqnarray*} Donc \[T\geq \frac{1}{a} \int_{b/a}^{1-1/N} \frac{ds}{s[1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN}-(1-b/a)s]}. \] On tombe sur une fraction rationnelle de la forme \(\frac{1}{s(u-vs)}\) avec \(u=1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN}\) et \(v=1-b/a\). Elle se décompose en éléments simples comme \(\frac{1}{u} (\frac{1}{s}+\frac{v}{u-vs})\). Une primitive est donc \(\frac{1}{u} [\log s - \log(u-vs)]=\frac{1}{u} \log \frac{s}{u-vs}\). Ainsi \begin{eqnarray*} T &\geq& \frac{1}{a(1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN})} \log \left \{ \frac{1-1/N}{b/a} \ \frac{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} - (1-b/a)b/a}{1-\frac{b}{a}+\frac{2b}{aN} - (1-b/a)(1-1/N)} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N} \log \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \ \frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN} }{(1+b/a)/N} \right \}\\ &=&\frac{1}{a-b+2b/N} \left [\log N + \log \left \{\frac{1-1/N}{b/a} \ \frac{(1-b/a)^2+\frac{2b}{aN} }{(1+b/a)} \right \} \right ]. \end{eqnarray*} Le membre de droite est équivalent à \((\log N)/(a-b)\) quand \(N\to +\infty\). Comme c'est le même équivalent que celui du majorant obtenu ci-dessus, on en conclut que \(T\sim (\log N)/(a-b)\) quand \(N\to +\infty\).

    Dans l'exemple de la figure 1, on a \(T\simeq \mbox{71,4}\) jours tandis que \((\log N)/(a-b)\simeq \mbox{72,0}\) jours. L'approximation semble assez bonne. Dans la figure 2, on fait varier la taille \(N\) de la population ainsi que le paramètre \(a\), avec \(b\) fixé. On remarque que \((\log N)/(a-b)\) tantôt surestime, tantôt sous-estime \(T\).

Figure 2. Comparaison de la date \(T\) du pic de l'épidémie (ligne continue), calculée avec l'intégrale de la formule (1), avec l'équivalent \((\log N)/(a-b)\) (ligne en pointillé), en fonction de \(\log N\), lorsque \(N\) varie de 10 à \(10^8\) pour trois valeurs du paramètre \(a\) telles que \(\mathcal{R}_0=a/b\in \{\mbox{1,5}\ ;\ 2\ ;\ 3\}\).

    Notons que \(a-b\) est le taux de croissance de l'épidémie à ses débuts puisqu'on a alors, pour \(N\) grand, \(S(t)\simeq N\) et \(dI/dt \simeq (a-b)I\). Ce taux peut être estimé à partir des données épidémiologiques. Connaissant la population totale \(N\), on peut donc prévoir la date du pic de l'épidémie. En pratique, l'hypothèse sous-jacente au modèle d'un mélange homogène de la population reste néanmoins douteuse à l'échelle d'un pays, un peu moins à l'échelle d'une ville.

    Historiquement, Kermack et McKendrick avaient résolu de manière approchée le système S-I-R en supposant que la reproductivité \(\mathcal{R}_0\) était proche de 1, ce qui conduit à une petite épidémie. Avec un développement limité \(e^{x}\simeq 1+x+x^2/2\), ils étaient parvenus à une équation de Riccati résoluble explicitement, de sorte que \begin{equation}\tag{2} I(t)\simeq \frac{X}{\mathrm{ch}^2(Yt-Z)}, \end{equation} où \(X\), \(Y\) et \(Z\) s'expriment de manière particulièrement compliquée en fonction des paramètres \(N\), \(a\) et \(b\) (voir par exemple [1]). Le pic épidémique a lieu en \(T \simeq Z/Y\). Notons au passage qu'à notre connaissance l'approximation (2) n'a jamais été démontrée rigoureusement, ce pourquoi on utilise ci-dessus et ci-dessous le signe informel \(\simeq\). Supposons maintenant en plus que \(1/N\) soit petit devant \((\mathcal{R}_0-1)^2\). Dans ce cas, \[Y\simeq \frac{a-b}{2},\quad Z\simeq \frac{1}{2} \log [2N(b/a-1)^2]\] (voir par exemple [2]). Avec \(N\) qui tend vers l'infini, on a donc \(Z\simeq \frac{\log N}{2}\) et finalement \(T \simeq \frac{\log N}{a-b}\). On retrouve bien le même comportement asymptotique. Notre analyse basée sur la formule (1) est valable cependant pour tout \(\mathcal{R}_0 > 1\) et pas seulement pour \(\mathcal{R}_0\) proche de 1.

Remerciements

    On remercie \(\mathrm{Hisashi\ Inaba}\) pour ses commentaires sur le texte.

Références

  1. \(\mathrm{N.\ Baca\ddot{e}r\ (2012)}\) \(\mathrm{Le\ mod\grave{e}le\ de\ Kermack\ et\ McKendrick\ pour\ la\ peste\ \grave{a}\ Bombay\ et\ }\) \(\mathrm{la\ reproductivit\acute{e}\ nette\ d'un\ type\ avec\ saisonnalit\acute{e}.}\) \(\mathrm{Journal\ of\ Mathematical\ Biology\ 64\ (2012)\ 403-422.}\) https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01340008
  2. \(\mathrm{N.\ Baca\ddot{e}r\ (2019)}\) \(\mathrm{Sur\ la\ taille\ finale\ des\ \acute{e}pid\acute{e}mies\ dans\ un\ environnement\ p\acute{e}riodique.}\) \(\mathrm{Comptes\ Rendus\ \ Biologies\ 342\ (2019)\ 119-123.}\) https://doi.org/10.1016/j.crvi.2019.07.001
  3. \(\mathrm{N.\ Baca\ddot{e}r\ (2020)}\) \(\mathrm{Un\ mod\grave{e}le\ math\acute{e}matique\ de\ l'\acute{e}pid\acute{e}mie\ de\ coronavirus\ en\ France.}\) https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02509142
  4. \(\mathrm{A.\ Hillion\ (1986)}\) \(\mathrm{Les\ Th\acute{e}ories\ math\acute{e}matiques\ des\ populations.}\) \(\mathrm{Presses\ Universitaires\ de\ France,\ Paris.}\)
  5. \(\mathrm{A.J.\ Lotka\ (1939)}\) \(\mathrm{Th\acute{e}orie\ analytique\ des\ associations\ biologiques,\ 2e\ partie.}\) \(\mathrm{Hermann,\ Paris.}\)