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Deformations of representations of fundamental groups of complex varieties

Déformations des représentations des groupes fondamentaux des variétés complexes


We describe locally the representation varieties of fundamental groups for smooth complex varieties at representations coming from the monodromy of a variation of mixed Hodge structure. Given such a manifold $X$ and such a linear representation $\rho$ of its fundamental group $\pi_1(X,x)$, we use the theory of Goldman-Millson and pursue our previous work that combines mixed Hodge theory with derived deformation theory to construct a mixed Hodge structure on the formal local ring $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ to the representation variety of $\pi_1(X,x)$ at $\rho$. Then we show how a weighted-homogeneous presentation of $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ is induced directly from a splitting of the weight filtration of its mixed Hodge structure. In this way we recover and generalize theorems of Eyssidieux-Simpson ($X$ compact) and of Kapovich-Millson ($\rho$ finite).
Nous décrivons localement les variétés des représentations des groupes fondamentaux pour des variétés complexes lisses en des représentations provenant de la monodromie d'une variation de structure de Hodge mixte. Étant donnée une telle variété $X$ et une telle représentation $\rho$ de son groupe fondamental $\pi_1(X,x)$, nous utilisons la théorie de Goldman-Millson et poursuivons notre travail précédent qui combine la théorie de Hodge mixte avec la théorie de déformations dérivée pour construire une structure de Hodge mixte sur l'anneau local formel $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ à la variété des représentations de $\pi_1(X,x)$ en $\rho$. Puis nous montrons comment une présentation homogène à poids de $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ est induite directement par un scindage de sa structure de Hodge mixte. De cette façon nous retrouvons et généralisons des théorèmes d'Eyssidieux-Simpson ($X$ compacte) et de Kapovich-Millson ($\rho$ finie).
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Dates and versions

hal-02399676 , version 1 (09-12-2019)
hal-02399676 , version 2 (11-04-2021)



Louis-Clément Lefèvre. Deformations of representations of fundamental groups of complex varieties. 2021. ⟨hal-02399676v2⟩


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