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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2019

Collatz and Kakutani Conjectures

Eléments de démonstration des conjectures de Collatz et de Kakutani

Lionel Laurore

Résumé

En 1928, Lothar Collatz, qui s'intéressait aux itérations dans les nombres entiers posa le problème 3m+1. Appelé aussi suite de Syracuse, cela consiste à étudier le comportement de suite définie par ; Uo = N entier naturel et U(n+1) = Un/2 si Un pair, U(n+1) = 3Un+1 sinon. La conjecture affirme que pour tout N entier positif, il existe n tel que Un = 1 De nombreuses tentatives de démonstrations ont été réalisées ainsi que des travaux connexes à ce problème sans pour autant arriver a une démonstration probante, des résultats partiels ont été obtenus et des pistes intéressantes explorées sans pour autant pousser les investigations jusqu'à leur terme. Paul Erdos disait que les mathématiques n'étaient pas encore prêtes pour résoudre un tel problème. Des résultats cependant intéressants ont été obtenus, comme celui montrant que la conjecture de Collatz pouvait se ramener à démontrer que toute suite de Syracuse finit par redescendre au dessous de son point de départ et que les cas Uo pair ou Uo = 4m +1 satisfaisaient bien la conjecture, et cela par une simple démonstration par récurrence. Notre approche se résume donc à démontrer que toute suite de Syracuse finit par passer au dessous de son point de départ en utilisant un raisonnement par récurrence forte et pour les cas qui résistent à ce point, de démontrer, en introduisant la notion de « suites confluentes », que toute suite de Syracuse commençant par un nombre de la forme 4m+3 finit par croiser une suite de Syracuse commençant par un nombre de la forme 4m+1 et que ces deux suites suivent la même trajectoire à partir de ce point de confluence. Nous montrerons dans une seconde partie, que cette approche permet également de résoudre la conjecture de Kakutani exposé par Oliveira (2010, [1]), qui est une généralisation de la conjecture de collatz et qui s'exprime ainsi : U(n+1) = Un/d si Un ≡ 0 [d], d appartient à finit D d'netiers natuels; U(n+1) = p.Un + 1 sinon. La conjecture de Collatz est un cas particulier de celle de Kakutani.
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hal-02336166 , version 3 (17-11-2019)
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  • HAL Id : hal-02336166 , version 4

Citer

Lionel Laurore. Eléments de démonstration des conjectures de Collatz et de Kakutani. 2019. ⟨hal-02336166v4⟩

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