Exponential stability of density-velocity systems with boundary conditions and source term for the $H^2$ norm - Archive ouverte HAL Access content directly
Journal Articles Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Year : 2021

Exponential stability of density-velocity systems with boundary conditions and source term for the $H^2$ norm

Abstract

In this paper, we address the problem of the exponential stability of density-velocity systems with boundary conditions. Density-velocity systems are omnipresent in physics as they encompass all systems that consist in a flux conservation and a momentum equation. In this paper we show that any such system can be stabilized exponentially quickly in the $H^2$ norm using simple local feedbacks, provided a condition on the source term which holds for most physical systems, even when it is not dissipative. Besides, the feedback laws obtained only depends on the target values at the boundaries, which implies that they do not depend on the expression of the source term or the force applied on the system and makes them very easy to implement in practice and robust to model errors. For instance, for a river modeled by Saint-Venant equations this means that the feedback laws do not require any information on the friction model, the slope or the shape of the channel considered. This feat is obtained by showing the existence of a basic $H^2$ Lyapunov functions and we apply it to numerous systems: the general Saint-Venant equations, the isentropic Euler equations, the motion of water in rigid-pipe, the osmosis phenomenon, etc.
Dans cet article on s’intéresse à la stabilité des systèmes densité-vélocité sur un domaine borné. Les systèmes densité-vélocité sont des systèmes d’équations aux dérivées partielles hyperboliques omniprésents en physique puisqu’ils regroupent tous les systèmes constitués d’une équation de continuité et d’un bilan des forces. Dans cet article, on montre que ces systèmes peuvent être stabilisé exponentiellement rapidement en norme $H^2$ à l’aide de contrôles aux bords simples, sous réserve d’une condition sur le terme source qui est vérifiée pour la majorité des systèmes physiques, même quand le terme source n’est pas dissipatif. Par ailleurs, les lois de rétroaction obtenues ne dépendent que des valeurs visées aux bords ce qui signifie qu’elles ne d´dépendent ni du terme source ni des forces appliquées sur le système. Cela les rend à la fois simples à implémenter et robustes aux erreurs de modèle. Par exemple, pour un fleuve modélisé par les équations de Saint-Venant, la loi de rétroaction ne nécessite aucune information sur le modèle de frottement ou la forme du canal. Cette prouesse tient à l’existence d’une fonction de Lyapunov basique pour la norme $H^2$ . Nous l’appliquons à plusieurs systèmes : les équations de Saint-Venant générales, les équations d’Euler isentropiques, le mouvement de l’eau dans un conduit rigide, le phénomène d’osmose, le trafic routier, etc.
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Dates and versions

hal-02190778 , version 1 (22-07-2019)
hal-02190778 , version 2 (07-05-2021)

Identifiers

Cite

Amaury Hayat, Peipei Shang. Exponential stability of density-velocity systems with boundary conditions and source term for the $H^2$ norm. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2021, 153, pp.187-212. ⟨10.1016/j.matpur.2021.07.001⟩. ⟨hal-02190778v2⟩
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