Partial sums of the cotangent function
Résumé
We prove the existence of reciprocity formulae for sums of the form $\sum_{m=1}^{k-1}f\pr{\frac{m}{k}}\cot\pr{\pi \frac{m h}k}$ where $f$ is a piecewise~$C^1$ function, featuring an alternating phenomenon not visible in the classical case where~$f(x)=x$. We deduce bounds for these sums in terms of the continued fraction expansion of~$h/k$.
Nous prouvons l'existence de formules de réciprocité pour des sommes de la forme~$\sum_{m=1}^{k-1} f(\frac{m}k) \cot(\pi\frac{mh}k)$, où~$f$ est une fonction~$C^1$ par morceaux, qui met en évidence un phénomène d'alternance qui n'apparaît pas dans le cas classique où~$f(x) = x$. Nous déduisons des majorations de ces sommes en termes du développement en fraction continue de~$h/k$.
Domaines
Théorie des nombres [math.NT]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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