An all-regime and well-balanced Lagrange-projection type scheme for the shallow water equations on unstructured meshes
Un schéma tout-régime équilibre de type Lagrange-projection pour les équations de Saint-Venant sur maillages non-structurés
Résumé
In this work, we focus on the numerical approximation of the shallow water equations in two space dimensions. Our aim is to propose a well-balanced, all-regime and positive scheme. By well-balanced, it is meant that the scheme is able to preserve the so-called lake at rest smooth equilibrium solutions. By all-regime, we mean that the scheme is able to deal with all flow regimes, including the low-Froude regime which is known to be challenging when using usual Godunov-type finite volume schemes. At last, the scheme should be positive which means that the water height stays positive for all time. Our approach is based on a Lagrange-projection decomposition which allows to naturally decouple the acoustic and transport terms. Numerical experiments on unstructured meshes illustrate the good behaviour of the scheme.
Dans ces travaux, on s'intéresse à l'approximation numérique des équations de Saint-Venant en deux dimensions d'espace. Notre but est de proposer un schéma équilibre, tout-régime et positif. Par équilibre, il est sous-entendu que le schéma est capable de préserver les solutions régulières dites du lac au repos. Par tout-régime, il est sous-entendu que le schéma est capable de traiter tout type d'écoulements, en particulier le régime bas Froude qui est connu pour être difficile lorsque l'on utilise des schémas volumes finis classiques de type Godunov. Enfin, le schéma devra être positif, ce qui signifie que la hauteur d'eau devra rester strictement positive à chaque instant. Notre approche est basée sur une décomposition qui permet de découpler naturellement les termes acoustique et de transport. Des expériences sur des maillages non-structurés illustrent le bon comportement de ce schéma.
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