Optimal control of admission in service in a queue with impatience and setup costs
Contrôle optimal de l’admission en service dans une file d’attente avec impatience et coûts de mise en route
Résumé
We consider a single server queue in continuous time, in which customers must be
served before some limit sojourn time of exponential distribution. A customer who is not served
before this limit leaves the system: it is impatient. The fact of serving customers and the fact of
losing them due to impatience induce costs. The fact of holding them in the queue also induces a
constant cost per customer and per unit time. The purpose is to decide when to serve the customers
so as to minimize costs. We use a Markov Decision Process with infinite horizon and discounted
cost. Since the standard uniformization approach is not applicable here, we introduce a family
of approximated uniformizable models, for which we establish the structural properties of the
stochastic dynamic programming operator, and we deduce that the optimal policy is of threshold
type. The threshold is computed explicitly. We then pass to the limit to show that this threshold
policy is also optimal in the original model. A particular care is given to the completeness of the
proof. We also illustrate the difficulties involved in the proof with numerical examples.
Nous considérons un modèle d’une file d’attente à un serveur en temps continu, dans
laquelle les clients doivent être servis avant une durée de séjour finie aléatoire, de distribution expo-
nentielle. Un client qui n’est pas servi avant cette limite quitte le système: il est impatient. Le fait de
servir les clients et le fait de perdre des clients par impatience induisent des coûts. Le fait de les garder
dans la file induit également un coût constant par client et par unité de temps. Il s’agit de décider de
façon optimale quand servir les clients. Nous utilisons un processus de décision Markovien à horizon
infini et à coûts actualisés. La méthode standard d’uniformisation ne s’appliquant pas à cette situation,
nous introduisons une famille de modèles approchés uniformisables pour lesquels nous établissons les
propriétés structurelles de l’opérateur de programmation dynamique stochastique, et nous déduisons
que la politique optimale est à seuil. Le seuil est calculé explicitement. Nous passons ensuite à la
limite pour montrer que cette politique à seuil est également optimale dans le modèle initial. Une at-
tention particulière est apportée à la complétude de la preuve. Nous illustrons également les difficultés
rencontrées à l’aide d’exemples numériques.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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