Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Chapitre D'ouvrage Année : 2018

Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties

Algébres quantiques des données de monodromie et variétés de caractère décorées

Résumé

The Riemann-Hilbert correspondence is an isomorphism between the de Rham moduli space and the Betti moduli space, defined by associating to each Fuchsian system its monodromy representation class. In 1997 Hitchin proved that this map is a symplectomorphism. In this paper, we address the question of what happens to this theory if we extend the de Rham moduli space by allowing connections with higher order poles. In our previous paper arXiv:1511.03851, based on the idea of interpreting higher order poles in the connection as boundary components with bordered cusps (vertices of ideal triangles in the Poincar\'e metric) on the Riemann surface, we introduced the notion of decorated character variety to generalize the Betti moduli space. This decorated character variety is the quotient of the space of representations of the fundamental groupoid of arcs by a product of unipotent Borel sub-groups (one per bordered cusp). Here we prove that this representation space is endowed with a Poisson structure induced by the Fock--Rosly bracket and show that the quotient by unipotent Borel subgroups giving rise to the decorated character variety is a Poisson reduction. We deal with the Poisson bracket and its quantization simultaneously, thus providing a quantisation of the decorated character variety. In the case of dimension 2, we also endow the representation space with explicit Darboux coordinates. We conclude with a conjecture on the extended Riemann-Hilbert correspondence in the case of higher order poles.
La correspondance de Riemann-Hilbert est un isomorphisme entre l'espace de modules de de Rham et l'espace de modules de Betti défini en s'associant à chaque système Fuchsien sa classe de représentation de monodromie.. Hitchin a prouvé (1997) que ce morphisme est un symplectomorphisme. Dans ce papier, nous abordons la question de ce qui arrive à cette théorie si nous considérons l'espace de modules de de Rham élargie en permettant des connexions avec des pôles d'ordre supérieur.. Dans notre papier précédent (arXiv:1511.03851), basé sur l'idée d'interpréter des pôles de degré supérieur dans la connexion comme des composants de la frontière avec des cusps aux bord (les sommets de triangles idéaux dans la métrique de Poincar\'e) sur la surface de Riemann, nous avons présenté la notion de variété de caractères décorée pour les espaces de modules de Betti. Cette variété de caractère décorée est le quotient de l'espace de représentations d' un groupoïde fondamental d'arcs par un produit des sous-groupes de Borel unipotents (un pour chaque cusp bordé). Ici nous prouvons que cet espace de représentations admet une structure de Poisson induite par les crochets de type Fock - Rosly et nous montrons que le quotient par des sous-groupes de Borel unipotents donne une variété décorée de caractères par une réduction de Poisson. Nous traitons les structures de Poisson et leurs quantifications simultanément, fournissant ainsi un quantisation de la variété de caractères décorée. Dans le cas de rank 2, nous proposons aussi des coordonnées de Darboux explicites sur l'espace de représentations. Nous concluons avec une conjecture sur la correspondance de Riemann-Hilbert "irréguliere" dans le cas des pôles d'ordre supérieur.

Dates et versions

hal-01518737 , version 1 (05-05-2017)

Identifiants

Citer

Marta Mazzocco, Vladimir Rubtsov, Leonid Chekhov. Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties. Edited by Jørgen Ellegaard Andersen, Andrew Dancer and Oscar García-Prada. Geometry and Physics, vol.1, 1, Oxford University Press, pp.39-68, 2018, A Festschrift in honour of Nigel Hitchin. ⟨hal-01518737⟩
385 Consultations
0 Téléchargements

Altmetric

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More