Interpolation naturelle sur les domaines non convexes par l'utilisation du diagramme de Voronoï contraint
Résumé
The natural elements method (NEM) is a new technique considered as a "meshless method" based on Sibson coordinates for the solution of partial differential equations. The NE shape functions are strictly interpolant which makes easy the imposition of essential boundary conditions. However, issues occur over non-convex boundaries : interpolant is not stricly linear over the whole boundary and interaction between nodes over close boundaries, like cracks, can also occur. Solutions proposed so far fail in cases like these. We propose a methodology to compute the shape functions by mean of a modified constrained Voronoï diagram. Respect of all main properties of the natural elements methods by this way without regard on the gometry of the domain is discussed.
La méthode des éléments naturels (MEN) est une nouvelle méthode dite « sans maillage » basée sur l'interpolant sibsonien pour résoudre des équations aux dérivées partielles. La méthode construit une interpolation strictement nodale ce qui simplifie l'application des conditions aux limites. Cependant des difficultés apparaissent pour des domaines non convexes : la linéarité n'est plus assurée sur les bords et des influences non désirées peuvent apparaître entre nœuds présents sur des frontières très proches l'une de l'autre dans des cas fortement concaves comme les fissures. Les solutions proposées jusqu'à présent ne permettent pas de traiter ce type de cas. Nous proposons une démarche où les fonctions de forme sont calculées en se basant sur un diagramme de Voronoï modifié, dit « contraint », permettant de traiter des problèmes de géométrie quelconque tout en garantissant les propriétés de la méthode des éléments naturels.
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