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Special Issue ESAIM: Proceedings and Surveys Year : 2018

Explicit Solution and Fine Asymptotics for a Critical Growth-Fragmentation Equation

Abstract

We give here an explicit formula for the following critical case of the growth-fragmentation equation $$\frac{\partial}{\partial t} u(t, x) + \frac{\partial}{\partial x} (gxu(t, x)) + bu(t, x) = b\alpha^2 u(t, \alpha x), \qquad u(0, x) = u_0 (x),$$ for some constants $g > 0$, $b > 0$ and $\alpha > 1$ - the case $\alpha = 2$ being the emblematic binary fission case. We discuss the links between this formula and the asymptotic ones previously obtained in (Doumic, Escobedo, Kin. Rel. Mod., 2016), and use them to clarify how periodicity may appear asymptotically.
Nous donnons ici une solution explicite de l'´ equation de croissance-fragmentation dans le cas critique suivant $$\frac{\partial}{\partial t} u(t, x) + \frac{\partial}{\partial x} (gxu(t, x)) + bu(t, x) = b\alpha^2 u(t, \alpha x), \qquad u(0, x) = u_0 (x),$$ pour des constantes $g > 0,$ $b > 0$ et $\alpha > 1$ -le cas $\alpha = 2$ correspondant au cas emblématique de la fission binaire. Malgré l'absence de comportement auto-similaire ou stationnaire, nous employons cette formule pour mettre enévidenceenévidence un comportement asymptotique périodique, de période variable en fonction de la courbe (t, x(t) = e rt) suivie. Nous discutons également les liens entre cette formulation et celles obtenues précédemment dans (Doumic, Escobedo, Kin. Rel. Mod., 2016).
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Dates and versions

hal-01510960 , version 1 (20-04-2017)
hal-01510960 , version 2 (19-11-2018)

Identifiers

Cite

Marie Doumic, Bruce van Brunt. Explicit Solution and Fine Asymptotics for a Critical Growth-Fragmentation Equation. ESAIM: Proceedings and Surveys, 62, pp.30-42, 2018, ⟨10.1051/proc/201862030⟩. ⟨hal-01510960v2⟩

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