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Journal Articles Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure Year : 2019

Long-time homogenization and asymptotic ballistic transport of classical waves

Abstract

Consider an elliptic operator in divergence form with symmetric coefficients. If the diffusion coefficients are periodic, the Bloch theorem allows one to diagonalize the elliptic operator, which is key to the spectral properties of the elliptic operator and the usual starting point for the study of its long-time homogenization. When the coefficients are not periodic (say, quasi-periodic, almost periodic, or random with decaying correlations at infinity), the Bloch theorem does not hold and both the spectral properties and the long-time behavior of the associated operator are unclear. At low frequencies, we may however consider a formal Taylor expansion of Bloch waves (whether they exist or not) based on correctors in elliptic homogenization. The associated Taylor-Bloch waves diagonalize the elliptic operator up to an error term (an ``eigendefect''), which we express with the help of a new family of extended correctors. We use the Taylor-Bloch waves with eigendefects to quantify the transport properties and homogenization error over large times for the wave equation in terms of the spatial growth of these extended correctors. On the one hand, this quantifies the validity of homogenization over large times (both for the standard homogenized equation and higher-order versions). On the other hand, this allows us to prove asymptotic ballistic transport of classical waves at low energies for almost periodic and random operators.
Consider an elliptic operator in divergence form with symmetric coefficients. If the diffusion coefficients are periodic, the Bloch theorem allows one to diagonalize the elliptic operator, which is key to the spectral properties of the elliptic operator and the usual starting point for the study of its long-time homogenization. When the coefficients are not periodic (say, quasi-periodic, almost periodic, or random with decaying correlations at infinity), the Bloch theorem does not hold and both the spectral properties and the long-time behavior of the associated operator are unclear. At low frequencies, we may however consider a formal Taylor expansion of Bloch waves (whether they exist or not) based on correctors in elliptic homogenization. The associated Taylor-Bloch waves diagonalize the elliptic operator up to an error term (an "eigendefect"), which we express with the help of a new family of extended correctors. We use the Taylor-Bloch waves with eigendefects to quantify the transport properties and homogenization error over large times for the wave equation in terms of the spatial growth of these extended correctors. On the one hand, this quantifies the validity of homogenization over large times (both for the standard homogenized equation and higher-order versions). On the other hand, this allows us to prove asymptotic ballistic transport of classical waves at low energies for almost periodic and random operators. Considérons un opérateur elliptique sous forme divergencè a coefficients symétriques non constants. Si ces coefficients sont périodiques, la théorie de Floquet-Bloch permet de diagonaliser l'opérateur elliptique, ce qui est crucial pour l'´ etude des propriétés spectrales de l'opérateur et le point de départ usuel pour l'´ etude des propriétés d'homogénéisation en temps long de l'opérateur des ondes associé. Quand les coefficients ne sont pas périodiques (disons quasi-périodiques, presque périodiques, ou aléatoires stationnaires ergodiques), la théorie de Floquet-Bloch ne s'applique plus et les propriétés spectrales ainsi que le com-portement en temps long de l'opérateur des ondes associé ne sont pas claires a priori. Aux basses fréquences, nous pouvons cependant considérer un développement de Taylor formel des ondes de Bloch (que celles-ci existent ou non) en se basant sur des correcteurs intro-duits en homogénéisation elliptique. Ces ondes de Taylor-Bloch diagonalisent l'opérateur elliptiquè a un terme d'erreur près (un "défaut propre"), que nous exprimonsàexprimonsà l'aide d'une nouvelle famille de correcteursétenduscorrecteursétendus. Nous utilisons cette formulation des défauts pro-pres pour quantifier les propriétés de transport et d'homogénéisation en temps long pour l'´ equation des ondes associée en termes de croissance spatiale des correcteursétenduscorrecteursétendus. D'une part, cela quantifie la validité de l'homogénéisation en temps long (` a la fois pour l'opérateur homogénéisé standard et pour des versions d'ordre supérieur). D'autre part, cela nous permet d'´ etablir le transport balistique asymptotique des ondes classiques aux bassesénergiesbassesénergies pour des opérateurs presque périodiques et aléatoires. 1 2 A. BENOIT AND A. GLORIA
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hal-01449353 , version 1 (30-01-2017)
hal-01449353 , version 2 (14-11-2017)
hal-01449353 , version 3 (18-09-2018)

Identifiers

Cite

Antoine Benoit, Antoine Gloria. Long-time homogenization and asymptotic ballistic transport of classical waves. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2019, 52 (3), pp.703-759. ⟨10.24033/asens.2395⟩. ⟨hal-01449353v3⟩
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