Un outil mathématique pour la physique : l'analyse non linéaire MinPlus et l' intégrale de chemin MinPlus
Résumé
In classical mechanics, there exists an analog to the Feynman path integral : the Minplus path integral that connects the Hamilton-Jacobi action S(x, t) to the Euler-Lagrange action S_cl (x, t; x0) by the equation :
S(x, t) = min_x0 (S0(x0) + S_cl(x, t; x0)) (1)
where the minimum is taken on the set of the initial positions x0 and where S0(x) is the Hamilton-Jacobi action at the initial time. This equation is an integral in the Minplus non-linear analysis [2] we introduced in 1996, following Maslov [1]. In classical mechanics, this equation explains the least action principle, and in quantum mechanics, it serves to refute Everett's many-worlds interpretation and strengthen the argument for the de Broglie-Bohm pilot wave for unbound particles (de Broglie-Bohm weak interpretation). In the conclusion, we discuss the wide-ranging potential this nonlinear analysis offers in physics.
Il existe en mécanique classique un analogue de l'intégrale de chemin de Feynman: c'est l'intégrale de chemin Minplus qui relie l'action d'Hamilton-Jacobi S(x, t) à l'action classique d'Euler-Lagrange S_cl(x, t; x0) par l'équation:
S(x, t) = min_x0 (S0(x0) + S_cl(x, t; x0))
où le minimum est pris sur l'ensemble des positions initiales x0 et où S0(x) est l'action d'Hamilton-Jacobi à l'instant initial. Cette équation est une intégrale dans l'analyse non linéaire Minplus [2] que nous avons introduit en 1996, à la suite de Maslov [1]. Nous verrons que cette équation permet en mécanique classique de mieux comprendre le principe de moindre action, et en mécanique quantique de réfuter l'interprétation des mondes multiples d'Everett et de conforter l'interprétation de l'onde pilote de Broglie-Bohm pour les particules non liées (interprétation faible de de Broglie-Bohm).
En conclusion, nous évoquons les nombreuses perspectives ouvertes en physique par cette analyse non linéaire.
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