Singularités à l'infini et intégration motivique
Résumé
Soit k un corps de caractéristique nulle et f une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d'une compactifi-cation choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque k est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l'infini de f. Nous la calculons par exemple, dans le cas d'un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l'infini. Pour toute valeur a, nous définissons une fibre de Milnor motivique complète S f,a qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle S f −a. Ceci permet d'introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de f et une notion de fonction motiviquement modérée. Abstract. — Let k be a field of characteristic zero and f be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of variety. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independant of this choice. When k is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it realises to the spectrum at infinity of f. For instance, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value a, we define a complete motivic Milnor fiber S f,a. It's an extension of the usual motivic Milnor fiber S f −a. Then we introduice motivic atypical values, a motivic bifurcation set of f and a notion of motivically tame function.
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