The Riemann-Hilbert mapping for $\mathfrak{sl}_2$ -systems over genus two curves
Abstract
We prove in two different ways that the monodromy map from the space of irreducible $\mathfrak{sl}_2$-differential-systems on genus two Riemann surfaces, towards the character variety of $\mathrm{SL}_2$-representations of the fundamental group, is a local diffeomorphism. This is motivated by a question raised by \'Etienne Ghys about Margulis' problem: existence of curves of negative Euler characteristic in compact quotients of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$.
Nous montrons de deux manières différentes que l'application monodromie, depuis l'espace des sl 2-systèmes différentiels irréductibles sur les surfaces de Riemann de genre deux, vers la variété de caractères des SL 2-représentations du groupe fondamental, est un difféomorphisme local. Nous montrons aussi que ce n'est plus le cas en genre supérieur. Notre travail est motivé par une question d'Étienne Ghysà propos d'un problème de Margulis : l'existence de courbes de caractéristique d'Euler négative dans les quotients compacts de SL 2 (C).
Origin : Files produced by the author(s)