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Article Dans Une Revue Theory of Computing Systems Année : 1997

Polynomial closure and unambiguous product

Résumé

This article is a contribution to the algebraic theory of automata, but it also contains an application to Büchi 's sequential calculus. The polynomial closure of a class of languages C is the set of languages that are finite unions of languages of the form L_0a_1L_1 · · · a_nL_n , where the a_i 's are letters and the L_i 's are elements of C. Our main result is an algebraic characterization, via the syntactic monoid, of the polynomial closure of a variety of languages. We show that the algebraic operation corresponding to the polynomial closure is a certain Mal'cev product of varieties. This result has several consequences. We first study the concatenation hierarchies similar to the dot-depth hierarchy, obtained by counting the number of alternations between boolean operations and concatenation, For instance, we show that level 3/2 of the Straubing hierarchy is decidable and we give a simplified proof of the partial result of Cowan on level 2. We propose a general conjecture for these hierarchies. We also show that if a language and its complement are in the polynomial closure of a variety of languages, then this language can be written as a disjoint union of marked unambiguous products of languages of the variety. This allows us to extend the results of Thomas on quantifier hierarchies of first-order logic.
Cet article est une contribution à la théorie algébrique des automates, mais contient aussi des applications au "calcul séquentiel" de Büchi. La fermeture polynomiale d'une classe de languages C est l'ensemble des langages qui peuvent s'écrire comme union finie de langages de la forme L_0a_1L_1 · · · a_nL_n, où les a_i sont des lettres et les L_i sont des éléments de C. Notre résultat principal est une caractérisation algébrique, via le monoïde syntactique ordonné, de la fermeture polynomiale d'une variété de langages. Nous montrons que l'opération algébrique correspondant à la fermeture polynomiale est un produit de Malcev bien particulier. Ce résultat a plusieurs conséquences. Nous commençons par étudier les hiérarchies de concaténation similiares à la "dot-depth", obtenues en comptant le nombre d'alternances entre les opérations booléennes et le produit de concaténation. Par exemple, nous montrons que le niveau 3/2 de la hiérarchie de Straubing est décidable et nous donnons une preuve simplifiée d'un résultat partiel de Cowan sur le niveau 2. Nous proposons une conjecture générale pour ces hiérarchies. Nous montrons également que si un langage et son complément sont dans la fermeture polynomiale d'une variété de langages, alors ce langage peut s'écrire comme union disjointe de produits non ambigus de langages de cette variété. Ceci permet d'étendre les résultats de Thomas sur les hiérarchies de quantification de la logique du premier ordre.
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Dates et versions

hal-01248158 , version 1 (23-12-2015)

Identifiants

  • HAL Id : hal-01248158 , version 1

Citer

Jean-Eric Pin, Pascal Weil. Polynomial closure and unambiguous product. Theory of Computing Systems, 1997, Theory Comput. Systems 30, (1997), 383-422, 30, pp.383-422. ⟨hal-01248158⟩

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