Newton series, coinductively
Abstract
We present a comparative study of four product operators on weighted languages: (i) the convolution, (ii) the shuffle, (iii) the infiltration , and (iv) the Hadamard product. Exploiting the fact that the set of weighted languages is a final coalgebra, we use coinduction to prove that an operator of the classical difference calculus, the Newton transform, generalises (from infinite sequences) to weighted languages. We show that the Newton transform is an isomorphism of rings that transforms the Hadamard product of two weighted languages into their infiltration product, and we develop various representations for the New-ton transform of a language, together with concrete calculation rules for computing them.
Nous présentons une étude comparative de quatre opérateurs de produits sur les langages pondérés: (i) la convolution, (ii) le shuffle, (iii) le produit d'infiltration, et (iv) le produit de Hadamard. Exploitant le fait que l'ensemble des langages pondérés est une coalgèbre finale, nous prouvons par coinduction qu'un opérateur classique du calcul symbolique des différences, la transformée de Newton, se généralise (à partir de séquences infinies) aux langages pondérés. Nous montrons que la transformation de Newton est un isomorphisme d'anneaux qui transforme le produit de Hadamard de deux langues pondérés en leur produit d'infiltration, et nous développons différentes représentations de la transformation de Newton d'un langage, ainsi que des règles de calcul concrètes pour les calculer.
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