On some generalized $q$-Eulerian polynomials
Résumé
The $(q,r)$-Eulerian polynomials are the $(\mathrm{maj-exc, fix, exc})$ enumerative polynomials of permutations. Using Shareshian and Wachs' exponential generating function of these Eulerian polynomials, Chung and Graham proved two symmetrical $q$-Eulerian identities and asked for bijective proofs. We provide such proofs using Foata and Han's three-variable statistic $(\mathrm{inv-lec, pix, lec})$. We also prove a new recurrence formula for the $(q,r)$-Eulerian polynomials and study a $q$-analogue of Chung and Graham's restricted Eulerian polynomials. In particular, we obtain a symmetrical identity for these restricted $q$-Eulerian polynomials with a combinatorial proof.
Les $(q; r)$-polynômes Eulériens sont les polynômes énumératifs des permutations par rapport au poids $(\mathrm{maj-exc, fix, exc})$. En utilisant la fonction génératrice de ces polynômes Eulériens due à Shareshien et Wachs, Chung et Graham ont démontré deux identités symétriques $q$-Eulériennes et demandé des preuves bijectives. Nous donnons de telles preuves en utilisant les statistiques trivariées $(\mathrm{inv-lec, pix, lec})$ de Foata et Han. Nous démontrons aussi une nouvelle récurrence pour ces $(q; r)$-polynômes Eulériens et étudions un $q$-analogue des polynômes Eulériens restreints de Chung et Graham. En particulier, nous obtenons une identité symétrique pour ces $q$-polynômes Eulériens restreints avec une preuve combinatoire.
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