The explicit molecular expansion of the combinatorial logarithm
Résumé
Just as the power series of $\log (1+X)$ is the analytical substitutional inverse of the series of $\exp (X)-1$, the (virtual) combinatorial species, $\mathrm{Lg} (1+X)$, is the combinatorial substitutional inverse of the combinatorial species, $E(X)-1$, of non-empty finite sets. This $\textit{combinatorial logarithm}$, $\mathrm{Lg} (1+X)$, has been introduced by A. Joyal in 1986 by making use of an iterative scheme. Given a species $F(X)$ (with $F(0)=1$), one of its main applications is to express the species, $F^{\mathrm{c}}(X)$, of $\textit{connected}$ $F$-structures through the formula $F{\mathrm{c}} = \mathrm{Lg} (F) = \mathrm{Lg} (1+F_+)$ where $F_+$ denotes the species of non-empty $F$-structures. Since its creation, equivalent descriptions of the combinatorial logarithm have been given by other combinatorialists (G. L., I. Gessel, J. Li), but its exact decomposition into irreducible components (molecular expansion) remained unclear. The main goal of the present work is to fill this gap by computing explicitly the molecular expansion of the combinatorial logarithm and of $-\mathrm{Lg}(1-X)$, a "cousin'' of the tensorial species, $\mathrm{Lie}(X)$, of free Lie algebras.
Tout comme la série de puissances de $\log (1+X)$ est l’inverse substitutionnel analytique de la série de $\exp (X)-1$ l’espèce de structures (virtuelle) $\mathrm{Lg} (1+X)$, est l’inverse substitutionnel combinatoire de l’espèce, $E(X)-1$, des ensembles finis non vides. Ce $\textit{logarithme combinatoire}$, $\mathrm{Lg} (1+X)$ , a été introduit par A. Joyal en 1986 en faisant appel à un schéma itératif. Étant donnée une espèce $F(X)$ (telle que $F(0)=1$), l’une de ses principales applications est d’exprimer l’espèce, $F^{\mathrm{c}}(X)$, des $F$-structures $\textit{connexes}$ par la formule $F{\mathrm{c}} = \mathrm{Lg} (F) = \mathrm{Lg} (1+F_+)$ où $F_+$ désigne l’espèce des $F$-structures non vides. Depuis sa création, des descriptions équivalentes du logarithme combinatoire ont été formulés par d’autres combinatoriciens (G. L., I, Gessel, J. Li), mais sa décomposition exacte en composantes irréductibles (développement moléculaire) est demeurée obscure. Le but principal du présent travail est de combler cette lacune en calculant explicitement le développement moléculaire du logarithme combinatoire et de $-\mathrm{Lg}(1-X)$ un “cousin” de l’espèce tensorielle, $\mathrm{Lie}(X)$, des algèbres de Lie libres.
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