Type $A$ molecules are Kazhdan-Lusztig
Résumé
Let $(W, S)$ be a Coxeter system. A $W$-graph is an encoding of a representation of the corresponding Iwahori-Hecke algebra. Especially important examples include the $W$-graph corresponding to the action of the Iwahori-Hecke algebra on the Kazhdan-Lusztig basis as well as this graph's strongly connected components (cells). In 2008, Stembridge identified some common features of the Kazhdan-Lusztig graphs ("admissibility'') and gave combinatorial rules for detecting admissible $W$-graphs. He conjectured, and checked up to $n=9$, that all admissible $A_n$-cells are Kazhdan-Lusztig cells. The current paper provides a possible first step toward a proof of the conjecture. More concretely, we prove that the connected subgraphs of $A_n$-cells consisting of simple (i.e. directed both ways) edges do fit into the Kazhdan-Lusztig cells.
Soit $(W, S)$ un système de Coxeter. Un $W$-graphe est un objet qui décrit certaines représentations de l’algèbre de Iwahori-Hecke. Des exemples particulièrement importants sont les $W$-graphes correspondant à l’action de l’algèbre de Iwahori-Hecke sur la base de Kazhdan-Lusztig ainsi que ses composantes fortement connexes (cellules). En 2008, Stembridge a identifié quelques caractéristiques communes des graphes de Kazhdan-Lusztig et a donné une caractérisation combinatoire de tous ces $W$-graphes. Il a conjecturé, et a vérifié jusqu’à $n=9$, que toutes ces $A_n$-cellules sont des cellules de Kazhdan-Lusztig. Le présent article fournit la première étape d’une démonstration possible de cette conjecture. Plus concrètement, nous montrons que les sous-graphes connexes de $A_n$-cellules composées d’arêtes s’insèrent dans les cellules de Kazhdan-Lusztig.
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