Transition matrices for symmetric and quasisymmetric Hall-Littlewood polynomials
Résumé
We introduce explicit combinatorial interpretations for the coefficients in some of the transition matrices relating to skew Hall-Littlewood polynomials $P_{\lambda / \mu}(x;t)$ and Hivert's quasisymmetric Hall-Littlewood polynomials $G_{\gamma}(x;t)$. More specifically, we provide the following: 1. $G_{\gamma}$-expansions of the $P_{\lambda}$, the monomial quasisymmetric functions, and Gessel's fundamental quasisymmetric functions $F_{\alpha}$, and 2. an expansion of the $P_{\lambda / \mu}$ in terms of the $F_{\alpha}$. The $F_{\alpha}$ expansion of the $P_{\lambda / \mu}$ is facilitated by introducing the set of $\textit{starred tableaux}$. In the full version of the article we also provide $G_{\gamma}$-expansions of the quasisymmetric Schur functions and the peak quasisymmetric functions of Stembridge.
Nous introduisons des interprétations combinatoires explicites pour les coefficients dans l’expansion de quelques matrices de transition en relation avec les polynômes skew de Hall-Littlewood $P_{\lambda / \mu}(x;t)$ et les fonctions quasi-symétriques de Hall-Littlewood $G_{\gamma}(x;t)$. Plus spécifiquement, nous donnons les suivants: 1. $G_{\gamma}$-expansions pour le $P_{\lambda}$, les fonctions monomiales quasi-symétriques et les fonctions fondamentales quasi-symétriques de Gessel’s $F_{\alpha}$ et 2. une expansion des $P_{\lambda / \mu}$ en termes des $F_{\alpha}$. L’expansion des $P_{\lambda / \mu}$ en termes des $F_{\alpha}$ est facilitée grâce a l’introduction de l’ensemble de $\textit{tableaux étoilés}$. Dans la version complète de cette article, nous donnons aussi $G_{\gamma}$-expansions pour les fonctions quasi-symétriques de Schur et les fonctions quasi-symétriques de pic de Stembridge.
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