A uniform model for Kirillov―Reshetikhin crystals
Résumé
We present a uniform construction of tensor products of one-column Kirillov–Reshetikhin (KR) crystals in all untwisted affine types, which uses a generalization of the Lakshmibai–Seshadri paths (in the theory of the Littelmann path model). This generalization is based on the graph on parabolic cosets of a Weyl group known as the parabolic quantum Bruhat graph. A related model is the so-called quantum alcove model. The proof is based on two lifts of the parabolic quantum Bruhat graph: to the Bruhat order on the affine Weyl group and to Littelmann's poset on level-zero weights. Our construction leads to a simple calculation of the energy function. It also implies the equality between a Macdonald polynomial specialized at $t=0$ and the graded character of a tensor product of KR modules.
Nous présentons une construction uniforme pour les produits tensoriels des cristaux de Kirillov–Reshetikhin de type colonne, pour tous les types affines symétriques, qui utilise une généralisation des chemins de Lakshmibai–Seshadri (dans la théorie des chemins de Littelmann). Cette généralisation est basée sur un graphe sur les classes paraboliques d’un groupe de Weyl appelé le graphe de Bruhat parabolique quantique. Un modèle lié est le modèle des alcôves quantiques. La preuve est basée sur deux relèvements du graphe de Bruhat parabolique quantique : dans
l’ordre de Bruhat affine et dans un ensemble ordonné des poids de niveau zéro. Notre construction donne une formule simple pour la fonction d’énergie. Elle donne aussi l’égalité d’un polynôme de Macdonald spécialisé à $t=0$ avec le caractère gradué d’un produit tensoriel des modules de Kirillov–Reshetikhin.
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