An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation
Obstruction à la contrôlabilité locale en temps petit pour une équations de Burgers visqueuse
Résumé
In this work, we are interested in the small time local null controllability for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on the line segment $[0,1]$, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the classical Lie bracket necessary condition $[f_1,[f_1,f_0]]$ introduced by Sussmann fails to conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a second order obstruction to small time local null controllability. This obstruction holds although the information propagation speed is infinite for the Burgers equation. Our obstruction involves the weak $H^{-5/4}$ norm of the control $u$. The proof requires the careful derivation of an integral kernel operator and the estimation of residues by means of weakly singular integral operator estimates.
Nous nous intéressons à la contrôlabilité locale en temps petit pour l'équation de Burgers visqueuse $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$, posée sur le segment $[0,1]$, avec des conditions de Dirichlet nulles au bord. Le terme source au second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle similaire à celui d'une pression. Dans ce contexte, la condition nécessaire classique introduite par Sussmann impliquant le crochet de Lie dit $[f_1, [f_1, f_0]]$ ne permet pas de conclure. Cependant, en utilisant un développement à l'ordre deux du système étudié, nous mettons en lumière une obstruction de nature quadratique à la contrôlabilité locale en temps petit. Cette obstruction tient alors même que la vitesse de propagation de l'information dans cette équation de Burgers est infinie. Elle fait intervenir la norme faible $H^{-5/4}$ du contrôle $u$. La démonstration nécessite le calcul soigneux du noyau d'un opérateur intégral, ainsi que l'estimation d'opérateurs résiduels à l'aide de la théorie de régularité pour les opérateurs intégraux faiblement singuliers.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)