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Article Dans Une Revue Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure Année : 2018

An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Obstruction à la contrôlabilité locale en temps petit pour une équations de Burgers visqueuse

Frédéric Marbach

Résumé

In this work, we are interested in the small time local null controllability for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on the line segment $[0,1]$, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the classical Lie bracket necessary condition $[f_1,[f_1,f_0]]$ introduced by Sussmann fails to conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a second order obstruction to small time local null controllability. This obstruction holds although the information propagation speed is infinite for the Burgers equation. Our obstruction involves the weak $H^{-5/4}$ norm of the control $u$. The proof requires the careful derivation of an integral kernel operator and the estimation of residues by means of weakly singular integral operator estimates.
Nous nous intéressons à la contrôlabilité locale en temps petit pour l'équation de Burgers visqueuse $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$, posée sur le segment $[0,1]$, avec des conditions de Dirichlet nulles au bord. Le terme source au second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle similaire à celui d'une pression. Dans ce contexte, la condition nécessaire classique introduite par Sussmann impliquant le crochet de Lie dit $[f_1, [f_1, f_0]]$ ne permet pas de conclure. Cependant, en utilisant un développement à l'ordre deux du système étudié, nous mettons en lumière une obstruction de nature quadratique à la contrôlabilité locale en temps petit. Cette obstruction tient alors même que la vitesse de propagation de l'information dans cette équation de Burgers est infinie. Elle fait intervenir la norme faible $H^{-5/4}$ du contrôle $u$. La démonstration nécessite le calcul soigneux du noyau d'un opérateur intégral, ainsi que l'estimation d'opérateurs résiduels à l'aide de la théorie de régularité pour les opérateurs intégraux faiblement singuliers.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-01229493 , version 1 (16-11-2015)

Identifiants

Citer

Frédéric Marbach. An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2018, 51 (5), pp.1129-1177. ⟨10.24033/asens.2373⟩. ⟨hal-01229493⟩
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