Lagrange's Theorem for Hopf Monoids in Species
Résumé
We prove Lagrange's theorem for Hopf monoids in the category of connected species. We deduce necessary conditions for a given subspecies $\textrm{k}$ of a Hopf monoid $\textrm{h}$ to be a Hopf submonoid: each of the generating series of $\textrm{k}$ must divide the corresponding generating series of $\textrm{k}$ in ℕ〚x〛. Among other corollaries we obtain necessary inequalities for a sequence of nonnegative integers to be the sequence of dimensions of a Hopf monoid. In the set-theoretic case the inequalities are linear and demand the non negativity of the binomial transform of the sequence.
Nous prouvons le théorème de Lagrange pour les monoïdes de Hopf dans la catégorie des espèces connexes. Nous déduisons des conditions nécessaires pour qu'une sous-espèce $\textrm{k}$ d'un monoïde de Hopf $\textrm{h}$ soit un sous-monoïde de Hopf: chacune des séries génératrices de $\textrm{k}$ doit diviser la série génératrice correspondante de $\textrm{h}$ dans ℕ〚x〛. Parmi d'autres corollaires nous trouvons des inégalités nécessaires pour qu'une suite d'entiers soit la suite des dimensions d'un monoïde de Hopf. Dans le cas ensembliste les inégalités sont linéaires et exigent que la transformée binomiale de la suite soit non négative.
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