Meander Graphs
Résumé
We consider a Markov chain Monte Carlo approach to the uniform sampling of meanders. Combinatorially, a meander $M = [A:B]$ is formed by two noncrossing perfect matchings, above $A$ and below $B$ the same endpoints, which form a single closed loop. We prove that meanders are connected under appropriate pairs of balanced local moves, one operating on $A$ and the other on $B$. We also prove that the subset of meanders with a fixed $B$ is connected under a suitable local move operating on an appropriately defined meandric triple in $A$. We provide diameter bounds under such moves, tight up to a (worst case) factor of two. The mixing times of the Markov chains remain open.
Nous considérons une approche de Monte Carlo par chaîne de Markov pour l'échantillonnage uniforme des méandres. Combinatoirement, un méandre $M = [A : B]$ est constitué par deux couplages (matchings) parfaits sans intersection $A$ et $B$, définis sur le même ensemble de points alignés, et qui forment une boucle fermée simple lorsqu'on dessine $A$ "vers le haut'' et $B$ "vers le bas''. Nous montrons que les méandres sont connectés sous l'action de paires appropriées de mouvements locaux équilibrés, l'un opérant sur $A$ et l'autre sur $B$. Nous montrons également que le sous-ensemble de méandres avec un $B$ fixe est connecté sous l'action de mouvements locaux définis sur des "triplets méandriques'' de $A$. Nous fournissons des bornes sur les diamètres pour de tels mouvements, exactes à un facteur 2 près (dans le pire des cas). Les temps de mélange des chaînes de Markov demeurent une question ouverte.
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