Touchard-Riordan formulas, T-fractions, and Jacobi's triple product identity - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Communication Dans Un Congrès Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Année : 2011

Touchard-Riordan formulas, T-fractions, and Jacobi's triple product identity

Résumé

We give a combinatorial proof of a Touchard-Riordan-like formula discovered by the first author. As a consequence we find a connection between his formula and Jacobi's triple product identity. We then give a combinatorial analog of Jacobi's triple product identity by showing that a finite sum can be interpreted as a generating function of weighted Schröder paths, so that the triple product identity is recovered by taking the limit. This can be stated in terms of some continued fractions called T-fractions, whose important property is the fact that they satisfy some functional equation. We show that this result permits to explain and generalize some Touchard-Riordan-like formulas appearing in enumerative problems.
Nous donnons une preuve combinatoire d'une formule à la Touchard-Riordan due au premier auteur. En conséquence, nous faisons appara\^ıtre un lien entre cette formule et l'identité du produit triple de Jacobi. Nous donnons un analogue combinatoire à l'identité du produit triple en montrant qu'une somme finie peut être interprétée comme fonction génératrice de chemins de Schröder pondérés, de sorte que l'identité du produit triple s'obtient en passant à la limite. Ceci peut être énoncé en termes de fractions continues appelées T-fractions, dont la propriété importante est le fait qu'elle satisfont certaines équations fonctionnelles. Nous montrons que ce résultat permet d'expliquer et généraliser certaines formules à la Touchard-Riordan apparaissant dans des problèmes d'énumération.
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hal-01215053 , version 1 (13-10-2015)

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Citer

Matthieu Josuat-Vergès, Jang-Soo Kim. Touchard-Riordan formulas, T-fractions, and Jacobi's triple product identity. 23rd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2011), 2011, Reykjavik, Iceland. pp.563-574, ⟨10.46298/dmtcs.2934⟩. ⟨hal-01215053⟩

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