Kerov's central limit theorem for Schur-Weyl and Gelfand measures (extended abstract)
Résumé
We show that the shapes of integer partitions chosen randomly according to Schur-Weyl measures of parameter $\alpha =1/2$ and Gelfand measures satisfy Kerov's central limit theorem. Thus, there is a gaussian process $\Delta$ such that under Plancherel, Schur-Weyl or Gelfand measures, the deviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ converge in law towards $\Delta (s)$, up to a translation along the $x$-axis in the case of Schur-Weyl measures, and up to a factor $\sqrt{2}$ and a deterministic remainder in the case of Gelfand measures. The proofs of these results follow the one given by Ivanov and Olshanski for Plancherel measures; hence, one uses a "method of noncommutative moments''.
Nous montrons que les formes des partitions d'entiers choisies aléatoirement sous les mesures de Schur-Weyl de paramètre $\alpha =1/2$ et sous les mesures de Gelfand obéissent au théorème central limite de Kerov. Ainsi, il existe un processus gaussien $\Delta$ tel que sous les mesures de Plancherel, de Schur-Weyl ou de Gelfand, les déviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ convergent en loi vers $\Delta (s)$, à une translation près le long de l'axe des abscisses pour les mesures de Schur-Weyl, et à un facteur $\sqrt{2}$ et un reste déterministe près dans le cas des mesures de Gelfand. Les preuves de ces résultats suivent celle donnée par Ivanov et Olshanski pour les mesures de Plancherel; ainsi, on utilise une "méthode de moments non commutatifs''.
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