Minkowski decompositions of associahedra
Résumé
Realisations of associahedra can be obtained from the classical permutahedron by removing some of its facets and the set of facets is determined by the diagonals of certain labeled convex planar $n$-gons as shown by Hohlweg and Lange (2007). Ardila, Benedetti, and Doker (2010) expressed polytopes of this type as Minkowski sums and differences of scaled faces of a standard simplex and computed the corresponding coefficients $y_I$ by Möbius inversion from the $z_I$ if tight right-hand sides $z_I$ for all inequalities of the permutahedron are assumed. Given an associahedron of Hohlweg and Lange, we first characterise all tight values $z_I$ in terms of non-crossing diagonals of the associated labeled $n$-gon, simplify the formula of Ardila et al., and characterise the remaining terms combinatorially.
Dans un article paru en 2007, Hohlweg et Lange décrivent des associaèdres réalisés à partir du permutoèdre en enlevant certaines de ses facettes. Ces facettes sont déterminées par les diagonales d'une famille de $n$-gones étiquetés. En 2010, Ardila, Benedetti et Doker ont montré que ces polytopes s'expriment par des sommes et différences de Minkowski de faces pondérées d'un simplexe. De plus, si les coefficients $z_I$ des inégalités décrivant l'associaèdre à partir du permutoèdre sont optimaux, alors les coefficients $y_I$ correspondants sont calculés par une inversion de Möbius. Étant donné un tel associaèdre, nous décrivons d'abord les valeurs optimales $z_I$ en termes de diagonales non croisées d'un certain $n$-gone étiqueté, ensuite nous simplifions la formule de Ardila et al. pour finalement décrire combinatoirement les termes restants.
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