Random Walks in the Plane
Résumé
We study the expected distance of a two-dimensional walk in the plane with unit steps in random directions. A series evaluation and recursions are obtained making it possible to explicitly formulate this distance for small number of steps. Formulae for all the moments of a 2-step and a 3-step walk are given, and an expression is conjectured for the 4-step walk. The paper makes use of the combinatorical features exhibited by the even moments which, for instance, lead to analytic continuations of the underlying integral.
Nous étudions la distance espérée d'une marche aléatoire à deux dimensions et à pas unité dans des directions aléatoires. Nous obtenons une évaluation des séries et des récurrences qui permettent de formuler explicitement cette distance pour un petit nombre de pas. Nous donnons des formules pour tous les moments d'une marche aléatoire à 2 et à 3 pas et nous formulons une conjecture pour l'expression d'une marche à 4 pas. Pour les moments pairs, nous utilisons des relations combinatoires qui, par exemple, permettent le prolongement analytique des intégrales.
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